7.INT1              Integraler 1

1. Om F'=f, kallas F en primitiv funktion till f.
2. Bestämda integralen av f över intervallet [a,b] bestäms som F(b)-F(a), där F är en primitiv funktion till f. Här måste f vara kontinuerlig i intervallet [a,b].
3. Därför behövs integrallistan, dvs en lista på de elementära funktionernas primitiva funktioner, som alltså är en omvänd version av derivatalistan.
4. Substitutionsmetoden är en omvänd version av kedjeregeln.
   Substitutionen t=t(x) fungerar om kombinationen t'(x)dx förekommer i integranden och resten av integranden är en funktion av t(x).
5. Observera fallet f'/f har den primitiva funktionen ln|f|.
6. Partiell integration är en baklängesversion av produktregeln omskriven till:
   uv'=(uv)' - u'v. Funktionerna x² sin x och xlnx är typiska exempel på integrander där partiell integration kan användas.

1. Rationella integrander behöver divideras om täljarens gradtal är större eller lika med nämnarens.
2. Om täljaren har lägre grad än nämnaren utförs partialbråksutveckling.
3. I fallet faktorer med reella nollställen skiljer man på enkla och multipla nollställen. Handpåläggning fungerar alltid för enkla faktorer och delvis för multipla faktorer som en metod att bestämma partialbråksutvecklingarnas täljare.
4. I fallet ickereella nollställen uppträder andragradsfaktorer vars partialbråksutveckling sker med ansatsmetoden. Integrering av termerna i denna partialbråksutveckling fordrar viss övning. Normalt blir resultatet en ln-term och en arctan-term.

5. Trigonometriska integrander övergår ofta till en rationell integrand efter substitutioner av typen t=sin x, cos x eller tan x. Trigonometriska ettan är användbar här.
6. Vissa integrander, ex.vis cosⁿx och sinⁿx , där n är ett jämnt tal, fordrar dock omformning med trigonometriska formler. Formlerna för dubbla vinkeln används ofta.

7. En algebraisk funktion innehåller rotuttryck. En vanlig situation är att man har roten ur ett förstagradsuttryck, sqrt(ax+b). Substitutionen ax+b=t² får roten att försvinna. I fallen med en konstant delad med en kvadratrot innehållande ett andragradspolynom kan man återföra integreringen på endera av två integraler i integrallistan.

1. Det finns två sorters generaliserade integraler: De med obegränsat integrationsintervall (ex.vis [a,∞[) och de med begränsat intervall. men där integranden går mot oändligheten i intervallet (ofta i en ändpunkt).
2. Metoden att bestämma värdet på en generaliserad integral går via primitiva funktioner på vanligt sätt. Vid insättningen av den primitiva funktionsvärden får man dock i generaliserade fallet använda gränsvärden.
3. Om gränsvärdena då existerar säges den generaliserade integralen vara konvergent, annars divergent.