6.LDI              Linjära differentialekvationer

1. i²= -1. Omskrivning av bråkuttryck till normalform med hjälp av konjugatregel-knepet.
2. Realdel, imaginärdel, belopp och konjugat.
3. Komplexa tal på polärform. Argumentvinkeln.
4. Eulers formel.

1. Nollställena till reella polynom förekommer som konjugerade par.
   (Så att om 1+i är en rot så är också 1-i en rot.)
2. Faktorsatsen gäller även komplexa tal a och komplexa polynom P:
   P(a)=0 om och endast om (x-a) är en faktor i P(x), dvs P(x)=(x-a)Q(x), där Q(x) är ett polynom.

1. En allmän linjär differentialekvation med konstanta koefficienter kan skrivas
   L(D)y=h(x), där L är ett polynom och D står för deriveringsoperationen. Den homogena lösningen y_H är lösningen till L(D)y=0..
2. Den homogena lösningen bestäms av de komplexa lösningarna r till den karakteristiska ekvationen L(r)=0. I fallet andra ordningens LDI finns det tre fall:
   1. Två reella rötter
   2. En reell dubbelrot.
   3. Två konjugerade komplexa rötter. som ger upphov till motsvarande tre typer av homogena lösningar.
3. Den allmänna homogena lösningen innehåller ett antal obestämda konstanter (lika många som diff.ekvationens ordning). Om begynnelsevillkor är givna (av typ y(0)=a, y'(0)=b) kan dessa konstanter bestämmas och man får en unik lösning.

1. Den allmänna lösningen till en linjär differentialekvation kan skrivas y=y_H + y_P, där y_P är en (vilken som helst) partikulärlösning, dvs en lösning till ickehomogena ekvationen L(D)y=h(x).

   Tekniken att bestämma en partikulärlösning beror på hur högerledet h(x) ser ut.

2. Om h(x) är ett polynom av grad n ansätts i normalfallet y_P=allmänt polynom av grad n. (Ex. n=2, y_P=ax²+bx+c).
   Viktigt undantag från ovanstående: Om y saknas i diff.ekvationens vänsterled ansätts istället ett polynom av grad n+1. (Om y' också saknas blir graden n+2 osv.)

3. Om h(x)=Ae^kx ansätts en lösning z(x)e^kx.(Om k inte är en karakteristisk rot, dvs om L(k) inte är 0, kan man ansätta ae^kx.)
   Förskjutningsregeln ( L(D)z(x)e^kx=e^kxL(D+k)z(x) ) underlättar bestämningen av z(x).
4. Ovanstående går också att tillämpa då h(x) har en trigonometrisk faktor. Man använder Eulers formel som ger e^axcos bx = Re( e^(a+ib)x) osv.
5. Resonans inträffar då k (exponentkoefficienten i h(x) uppfyller L(k)=0. Detta gäller även då k är komplext. Partikulärlösningen tas fram med samma metod i resonansfallet. Man kommer att stöta på undantagsfallet för polynom ovan vid resonans.
6. Om flera termer förekommer i högerledet bestäms en partikulärlösning för en högerledsterm i taget, y_P1, y_P2, ... . Den totala partikulärlösningen blir y_P= y_P1+ y_P2+... .
7. Om tillräckligt många begynnelsevillkor är givna (Ex. y(0), y'(0) är givna för en andra ordningens ekvation) får man en unik lösning genom att bestämma de obestämda konstanter som ingår i allmänna lösningen.