Extra uppgifter.     Tal och funktioner, SF1643 för Bio och K.

Skriv ut (pdf)

Induktion

I1. Visa att 1·2 + 2·3 + ... (n-1)·n = (n³-n)/3,    n=2,3,... .

I2. Visa (utan att använda I1) att n³-n är jämnt delbart med 3 (n=2,3,...).

I3. Visa att 3ⁿ ≥ n·2ⁿ, n=1,2,... .

I4. Visa med induktionsbevis att 2+5+8+... + 3n-1 = n(3n+1)/2, n=1,2,... .

I5. Visa att 5ⁿ - 1 är jämnt delbart med 4 för n=1,2,... .

Potenser och logaritmer

H1. Ett radioaktivt ämne har halveringstiden 7200 år. Efter hur lång tid är koncentrationen nere i 1% av den ursprungliga?

Svar 14400*ln10/ln2, c:a 47836 år.

H2. En bakteriepopulation antas tillväxa exponentiellt. Efter 2 timmar är bakteriemassan 5 gånger så stor som i början. Hur stor är fördubblingstiden?

Svar: ln4/ln5, c:a 0.86 tim.

H3. Hur stor är halveringstiden för den radioaktiva isotop vars massa minskat till 10% av den ursprungliga efter 100 år.

Svar 100ln2/ln10 = 100lg2 = 30.1... år.

H4. En kaninpopulation antas tillväxa exponentiellt. Efter 5 år har antal kaniner ökat med en faktor 3. Efter hur lång tid kan populationen väntas ha blivit 10 gånger så stor?

Svar: 5ln10/ln3 = 10.48... år.

H5. Lös ekvationen e^2x= 3·10^x.

Svar: -ln3/(ln10-2)