Svar till tentan

1. Go=15.3458 kronor, vilket ger optionspriset 0.6105 kronor. Då har jag räknat exakt i Excel -- använder man tabellen blir en del avrundningar. Detta är ju en standard Black-modell.

2. Också en standarduppgift. Den totala portföljens duration blir 3.8 år, så portföljen minskar med 3.80 kronor.

3. Här skall man alltså använda Ho-Lees binomialträd. Det verkar som om en del av er inte insåg det. Men uppgiften är standard, vi har gjort mycket snarlika problem på undervisningen; se också problem 7.3 i exempelsamlingen. Svaret blir att futuren är värd 9,417.81 kronor. Det är värt att påpeka att i det här fallet blir futures­priset = forward­priset, men det beror på approxima­tionen att tids­steget = tiden till inlösen. Hade vi gjort många steg i binomial­trädet hade vi fått det exakta svaret (med Ho-Lees modell) 9,415,95 kronor. Det är alltså inte korrekt att beräkna forward­priset i.st.f. futures­priset, även om det i det här fallet ger samma svar.

Nu ser jag under rättningen att ni gjort de mest egendomliga lösningar på det här problemet, som jag trodde var helt rättframt. Jag skrev ju t.o.m. upp hur ett Ho-Lee-träd är konstruerat för att ni inte skulle behöva komma ihåg fomler utantill. Så här skall det se ut: Trädet över halvårsräntorna (per halvår:)

           år  0        0,5      1
           0.060000  0.074242 0.088684
                     0.045958 0.060400
                              0.032116
                    
       Obligationens värde (omedelbart före ev. utdelning)

           år  0        0,5      1         1,5 
                     9,155,50  9,725.89  10,300                     
                     9,680,12  9,996.30  10,300
                              10,274.46  10,300
                                         10,300

Futurens värde Fo är väntevärdet (m.a.p. futuresmåttet) av obligationens värde om sex månader, dvs. Fo = 0.5*(9,155,50+9,680,12) = 9,417.81. Eftersom futurespriset beräknas i ett enda steg i binomialträdet blir det ingen skillnad på futurespriset och forwardpriset Go, som man ju får ur

0 = -Go*exp(-0,06) + 300*exp(-0,12) + 10,300*exp(-0,18).

Men det är naturligtvis inte korrekt att beräkna forwardpriset i stället för futurespriset — se ovan.
 

4. Det här är också ganska rättframt; det är Blacks modell för "bond options", som jag skrivit ett supplement om, och som också står i Hulls bok. Man får Go=9,991.31 och s =0.009854. Optionens pris blir (med exakt uträkning) 45.53

5. Vi har gjort liknande uppgift; se t.ex. 6.8 i exempelsamlingen. En liknande uppgift finns i Hull. Svaret blir 211.10

6a. Låt E[] betyda väntevärde map. forwardmåttet vid tiden för inlösen av amerikanska optionen. Då är värdet av den europeiska optionen

exp(-rt)E[max(X-K,0)] >= exp(-rt)(E[X] - K) = exp(-rt) (Go - K) = S - exp(-rt)K

där S är aktiens spotpris och K inlösenpriset; X är aktiens spotpris vid tiden för optionens inlösen.

Värdet man får av att lösa in den amerikanska optionen är förståss S-K, så olikheten följer.

6b. Titta på strategin att idag korta (alltså ställa ut) en amerikansk option, och köpa en europeisk, och sätta in överskottet på en bank. Om och när långa innehavaren till amerikanska optionen löser in den, så säljer jag min europeiska option. Om nu den antagna olikheten (den vi skall visa är fel) är uppfylld, så innebär denna strategi ett arbitrage, som man lätt ser (det skall naturligtvis visas ordentligt.) Det antar vi inte finns, påståendet följer.