Som uppvärmning och motivation kan man läsa detta

Kontrollskrivning

Datorlaborationer

Notera att Datorlaborationerna inte är obligatoriska men att Lab 1 och Lab 2 kan ge 3+3 bonuspoäng till tentamen 13/3-2015 (endast till denna tentamen).

Den förberedande Lab 0 går av stapeln 9/2 10-11 och är mest till för de som inte kan Matlab eller vill friska upp sina kunskaper. Salar: 4V3Ora och 4V4Gul.

Lab 1 går av stapeln 20/2 15-17 i salarna 4V3Ora, 4V4Gul, 4V5Grö och 4V6Bru.

Lab 2 går av stapeln 6/3 13-15 i salarna 4V3Ora, 4V4Gul, 4V5Grö och 4V6Bru.

Användbara och nödvändiga m-filer, data-filer till Lab 1 finns här. Ytterligare en länk till birth.dat.

Användbara och nödvändiga m-filer, data-filer till Lab 2 finns här.

Man kan jobba individuellt eller i grupp om max 2 personer. Godkännande av laborationerna sker under respektive laborations tillfälle, vilket innebär att de två timmarna skall användas huvudsakligen för redovisning. Alltså måste både skriftliga individuella förberedelseuppgifter samt laborationsuppgifter vara förberedda innan laborationstillfället. Det finns möjligheter att i begränsad omfattning fråga övningsledarna i samband med övningsundervisningen.

Som förtydligades under första läsveckan: bonuspoäng kan endast tillgodoräknas på första ordinarie tentamen, dvs. tentamen fredag 13 mars, och man måste på denna tentamen erhålla minst 20 poäng (av 60) utan medräknad bonus för att bonuspoängen skall räknas med.

Föreläsningsinformation

2014-03-05 Femtonde och sista föreläsningen. Slides finns här. Dessutom finns här ett exempel på en finanstillämpning av enkel linjär regression.

2015-03-03 Fjortonde föreläsningen. Slides finns här.

2015-02-27 Trettonde föreläsningen. Slides finns här.

2015-02-24 Tolfte föreläsningen. Slides finns här.

2015-02-18 Elfte föreläsningen. Slides finns här.

2015-02-16 Tionde föreläsningen. Slides finns här.

2015-02-13 Nionde föreläsningen. Slides finns här.

2015-02-11 Åttonde föreläsningen. Slides finns här.

2015-02-06 Sjunde föreläsningen. Slides finns här.

Kapitel 6 om normalfördelningen. Definition och egenskaper, väntevärde och varians. Lite om användningen av Φ-tabell dvs. tabell över fördelningsfunktionen för den standardiserade normalfördelningen N(0,1) och hur samma tabell kan användas för att beräkna sannolikheter för allmän normalfördelning genom normering. Diskuterade vidare egenskapen att alla linjärkombinationer av oberoende normalfördelade stokastiska variabler är normalfördelade.

Slutligen diskuterades det viktigaste resultatet i matematisk statistik, nämligen centrala gränsvärdessatsen. Denna exemplifierades med poängsumma av många tärningskast:

2015-02-04 Sjätte föreläsningen. (Vikarie Gunnar Englund)

Kort repetition av E(X) och V(X) från förra föreläsningen.

Beskrev hur vi får E(g(X,Y)) och noterade att intressanta fall var g(X,Y)=XY, g(X,Y)=X+Y samt g(X,Y)=X.

Räkneregler för väntevärde och varians varvid begreppet kovarians dök upp som mått på beroende.

Införde C(X,Y)=kovariansen mellan X och Y som beroendemått där

C(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))=E(XY)-E(X)E(Y)

samt korrelationskoefficienten=C(X,Y)/(D(X)D(Y)) och varnade för okritisk användning av denna som mått på orsakssamband. Visade att oberoende variabler är okorrelerade (dvs har C(X,Y)=0) genom attE(XY)=E(X)E(Y). Observera att omvändningen inte gäller och gav exemplet X är U(1,1) och Y=X² som är kraftigt beroende men är okorrelerade enligt Exempel 5.13 sid 123 i läroboken..

Följande räknelagar för väntevärden och varianser är viktiga:

• E[aX + b] = aE[X] + b
• V(aX + b) = V(aX) = a²V(X)
• E[X + Y] = E[X] + E[Y]
• V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2C(X,Y)

• E[XY] = E[X]E[Y].
• C(X,Y) = 0
• V(X + Y) = V(X) + V(Y)

De lite mer komplicerade reglerna för varians kan möjligen vara lättare att memorera om man minns följande

• V(X)=C(X,X)
• C(X,Y)=C(Y,X)
• C(X+a,Y)=C(X,Y)
• C(aX,Y)=aC(X,Y)
• C(X+Y,Z)=C(X,Z)+C(Y,Z)
• C(a,X)=0

Stora talens lag, dvs att aritmetiska medelvärdet av summor av oberoende likafördelade stokastiska variabler konvergerar mot väntevärdet, vilket är en viktig tolkning av väntevärdet. Som specialfall kan man ta "relativa frekvensers stabilitet" som vi talade om i kapitel 2.

Skissade lite på sannolikhetsgenererande funktion som är det "rätta" sättet att studera summan av oberoende stokastiska variabler.

För den (mycket) intresserade finns här ett bevis för stora talens lag i stark form.

Ungefärligt föreläsningsinnehåll. (Alternativ 1).

Ungefärligt föreläsningsinnehåll (Alternativ 2).

2015-01-29 Femte föreläsningen. (Vikarie Gunnar Englund)

Härledde fördelningen för Z=X+Y där X och Y är oberoende. Här dök faltning upp. Detta är en ganska besvärlig operation.

Inledning om kapitel 5 om väntevärden. Definition av väntevärde E[X] för stokastisk variabel och dess tolkningar som tyngdpunkt i sannolikhetsfördelningen, ett viktat medelvärde där vikterna är sannolikheterna samt som medelvärde av "många" oberoende upprepningar av försöket (Stora talens lag).

Gav exemplen X='resultat av ett tärningskast', X='summan av två tärningskast', X='kvadraten på ett tärningskast',X är ffg(1/6)-fördelad (se Ex 5.2 sid 109 i läroboken för detaljerna), likformigt fördelad U(a,b) samt med tätheten 2x på intervallet (0,1), dvs en triangelformal täthet.

Formler för E(g(X)).

Gick igenom S:t Petersburgsparadoxen i enlighet med Exempel 5.8 i läroboken.

Införde variansen V(X) (och standardavvikelsen D(X)) som spridningsmått.

Formel att V(X)=E(X²) - (E(X))² som brukar kallas Steiners regel inom mekaniken.

Visade räknelagar för väntevärden och varianser:

• E[aX + b] = aE[X] + b
• V(aX + b) = V(aX) = a²V(X)

Ungefärligt föreläsningsinnehåll. (Alternativ 1).

Ungefärligt föreläsningsinnehåll (Alternativ 2).

2015-01-27 Fjärde föreläsningen. Slides finns här.

Repetition av de viktiga begreppen diskret/kontinuerlig stokastisk variabel, sannolikhetsfunktion, täthetsfunktion och fördelningsfunktion. Illustrerade på två "fingerövningar" hur man räknar med fördelningsfunktion och konstaterade att man måste se upp lite då X är diskret, ty om a och b är heltal är i det diskreta fallet

p(a ≤ X ≤ b) = F_X(b) - F_X(a - 1),

medan i det kontinuerliga fallet

p(a ≤ X ≤ b) = F_X(b) - F_X(a).

Avsnitt 3.10: funktioner Y = g(X) av en stokastisk variabel som exemplifierades med Y = X mod 3 (rest vid division med 3), där X är antal ögon vid ett tärningskast.

I det kontinuerliga fallet togs tätheten fram för en kvadratisk transformation samt strängt växande/avtagande transformation. Det senare användes för att förklara det intressanta faktum att om F är en inverterbar fördelningsfunktion och X är likformigt fördelad på intervallet (0,1) så får Y = F^-1(X) fördelningsfunktionen F. Detta kan användas för att generera slumptal med godtycklig fördelning med hjälp av likformigt fördelade slumptal, vilket är användbart t.ex. vid s.k. Monte Carlo-simulering (simulering berörs i Kapitel 8 i läroboken, men ingår inte i kursen). Visade hur man kan generera Exp(λ)-fördelade slumptal (ungefär) enligt bokens exempel 3.19.

Kapitel 4 om flerdimensionella stokastiska variabler med särskild tonvikt på det viktiga fallet med oberoende variabler. Notera att avsnittet 4.8 om betingad fördelning inte ingår i SF1901, men kommer att dyka upp i SF1904 (Markovprocesser).

Tittade också på fördelningen för Z = g(X₁,X₂,...,X_n) i några intressanta fall som Z = max(X₁,X₂,...,X_n) samt Z = min(X₁,X₂,...,X_n).

2015-01-23 Tredje föreläsningen. Slides finns här.

Repeterade begreppen betingad sannolikhet samt oberoende. Illustrerade åter Bayes formel genom att i exemplet med kontrollskrivningen räkna ut den betingade sannolikheten att en student som inte blev godkänd på ordinare tentamen inte deltog i kontrollskrivningen.

Begreppet stokastiska variabler (Kap. 3) introducerades. Det diskreta fallet exemplifierades med poängsumman av två tärningskast, där sannolikhetsfunktionen beräknades. Dessutom presenterades och diskuterades för-första-gången-fördelningen, binomialfördelningen (som exemplifierades med den icke fotbollsintresserade apan och stryktipset) och Poissonfördelningen. Poissonfördelning dyker upp som modell för t.ex. inloggningar till ett datasytem, antal telefonanrop, antal åskväder etc. Vidare pratade jag lite om att den också kunde dyka upp som en modell för ihjälsparkade kavallerister.

Vidare introducerades kontinuerlig fördelning (fördelning med täthet) och som exempel nämndes likformig fördelning, normalfördelning (den viktigaste fördelningen i matematisk statistik) och exponentialfördelning. Den senare är intressant då den "saknar minne" och därför lämpar sig väl för att modellera t.ex. telefonsamtalslängder och tid mellan olyckor.

Slutligen definierades begreppet fördelningsfunktion. Fördelningsfunktioner är praktiska vid beräkningar, t.ex.

P(a < X ≤ b) = F_X(b) - F_X(a),

och de vanligaste finns tillgängliga i tabeller och räknare.

2015-01-22 Andra föreläsningen. Slides finns här.

Först gavs ett förtydligande ang. bonusprogrammet, nämligen att bonuspoäng endast kan tillgodoräknas på första ordinarie tentamen, dvs. tentamen fredag 13 mars, och att man på denna tentamen måste erhålla minst 20 poäng (av 60) utan medräknad bonus för att bonuspoängen skall räknas med.

Under första föreläsningen diskuterades lite kring kombinatorik och vi redde ut de tre intressantaste fallen (dragning med återläggning med hänsyn till ordning, dragning utan återläggning med och utan hänsyn till ordning) med hjälp av multiplikationsprincipen. Använde detta för att härleda sannolikheten att få k röda kulor då man ur en urna med v vita och s svarta kulor drar n kulor med respektive utan återläggning. Detta har kopplingar till Binomialfördelningen och Hypergeometriska fördelningen som presenteras i kapitel 3 och 7.

Motiverade och definierade betingad sannolikhet. Visade lagen om total sannolikhet samt Bayes sats (som kan användas för att vända på betingning). Exemplifierade Bayes sats meddelst kast med "tvåkrona" (hann dock inte gå igenom exemplet om kontrollskrivningen). Diskussionen av betingad sannolikhet ledde till begreppet oberoende. Utvidgade definitionen av oberoende till fler än två händelser.

2015-01-20 Första föreläsningen. Slides finns här.

Pratade lite allmänt om ämnet matematisk statistik och dess tillämpningar.

Grundläggande terminologi. Slumpmässigt försök, utfall, utfallsrum och händelse med exempel.

Tolkning av mängder som händelser och mängdlärans operationer: komplement, union och snitt. De Morgans lagar. Omöjliga och oförenliga händelser.

Tolkning av sannolikhetsbegreppet i termer av relativa frekvenser. Simulerade relativa frekvensen för 6:a vid upprepade kast med tärning. Kolmogorovs axiomsystem och några satser som följer ur detta.

Klassisk sannolikhetsdefinition som är tillämplig då elementarutfallen kan anses vara lika sannolika. Som förberedelse inför kommande räkningar enligt klassisk sannolikhetsdefinition diskuterades lite kombinatorik, dvs svaret på frågan "På hur många sätt kan man....?" samt begreppen "Med/Utan återläggning" samt "Med/Utan hänsyn till ordning".

Beskrev, med hjälp av multiplikationsprincipen, de tre intressanta fallen (1) dragning med återläggning med hänsyn till ordning, (2) dragning med utan återläggning med hänsyn till ordning och (3) dragning utan återläggning utan hänsyn till ordning.