Matematik / Matematisk statistik / SF1910/SF1925 för CSAMH2/CLGYM3

Aktuell information för kursen SF1910/SF1925 Tillämpad statistik, 7.5hp, för CSAMH,CLGYM period 2, ht 2021.

Här ges fortlöpande information om schemaändringar, vad som gåtts igenom på föreläsningar etc.

Instruktion om hur man anmäler sig till lab2

Gå in på personer . Klicka på Lab2SF1910/SF1925HT21. Välj en grupp 1-96. Gå in i kalender. Klicka på "Hitta möte". Välj kurs. Klicka på "Lämna in".Välj tid. Klicka på "Reservera".

Laboration 2

De som önskar redovisa Laboration 2 måste boka en redovisningstid senast onsdag 15/12 kl 23.59. Boka laborationstid genom att först anmäla er till en av de 96 grupperna för Lab2SF1910/SF1925HT21 som finns under fliken Personer på Canvassidan. Boka sedan in er grupp på ett av redovisningspassen i kalendern för SF1910/SF1925.

Se till att komma till labsalen minst tio minuter före redovisningstiden så att ni hinner logga in på datorn och öppna Matlab samt ta fram era redovisningsuppgifter.

Ha med er en utskrift av labspecifikationen som ni har skrivit era personnummer på förstasidan på. Denna utskrift undertecknar labassistenten efter att han eller hon har godkänt labben och utskriften fungerar sedan som ert kvitto på resultatet.

Administrativa ärenden

I ärenden som är administrativa kontakta studentoffice@math.kth.se

Tider och salar för Räknestugorna

Ons 1 dec kl 10-12, sal V34
Ons 8 dec kl 10-12, sal Q31
On 15 dec kl 13-15, sal W38

Sal W38 ligger på Teknikringen 78 på våningsplan ? och har rumsnummer ???.

Kontrollskrivning

Kontrollskrivningen Onsdagen 24/11 kl 8-10 omfattar kap 2-5 i kurslitteraturen.De studenter som får godkänt på kontrollskrivningen får tillgodoräkna sig uppgift 1-3 på del I på den ordinarie tentamen och på första omtentamenstillfället. Kontrollskrivningen kommer att bestå av 5 uppgifter. För att få godkänt krävs minst 3 rätt.Tillåtet hjälpmedel är miniräknare.

Datorlaborationer

Utöver föreläsningar och övningar innehåller kursen två frivilliga datorlaborationer. Studenter som godkänts på den andra av dessa laborationer får tillgodoräkna sig uppgift 12 på del I och får dessutom 3 bonuspoäng på del II av den ordinarie tentamen och det första omtentamenstillfället.

Laboration 1 är både en introduktion till hur man använder MATLAB i sannolikhetsteori och statistik och en förberedelse till den andra datorlaborationen. Det finns möjlighet att få handledning på denna laboration under ett schemalagt laborationspass.

Laboration 2 som är den bonusgrundande datorlaborationen utförs i grupper om 2 studenter, men de skriftliga förberedelseuppgifterna ska lösas individuellt. Varje grupp kommer att få boka ett femton minuter långt redovisningstillfälle i datorsal. Både de skriftliga individuella förberedelseuppgifterna och laborationsuppgifterna måste vara färdigställda före redovisningstillfället. Det kommer inte att ges möjlighet till handledning i datorsal, men det finns möjlighet att i begränsad omfattning fråga övningsledarna om hjälp i samband med övningsundervisningen.

Redovisningstillfällen för datorlaboration 2 kommer att bokas i kalendern i Canvas och detaljerad information om hur detta görs skickas ut under kursens gång.

Syftet med datorlaborationerna är att ge en fördjupad förståelse för de begrepp och den teori som tas upp i kursen och samtliga studenter rekommenderas därför att delta på datorlaborationerna.

Föreläsningar

Föreläsningarna kommer att ges på sal. Efter varje föreläsning kommer jag att längst ner på denna sida under rubriken Föreläsningsdagbok skriva en kort sammanfattning av vad som gåtts igenom på varje föreläsning. Där finns även föreläsningsanteckningar som är just anteckningar av varierande utförlighet och kvalitet.

Inspelade föreläsningar

Det finns också inspelade föreläsningar.De ligger på media gallery på canvassidan. På sidan Videoföreläsningsdagbok finns en dagbok där huvuddragen av respektive föreläsning sammanfattats. Där står också hur lång respektive föreläsning är. Kolla det innan ni börjar titta. Eftersom de är inspelade så är de ibland utvidgade versioner av föreläsningarna jag håller på sal. Detta beror på att jag inte har behövt bestämma mig för om jag ska lägga dem på en nivå för de som bara vill ha godkänt eller på en nivå för de som vill ha lite mer fördjupning utan jag gör både och. Ljudet blir bättre om man använder hörlurar till sin laptop.

Övningar

Övningarna kommer att ges på sal samt på distans. I Övningsgrupp 3 kommer assistenten att följa en alternativ övningsplan där några av övningsuppgifterna är lite mer avancerade. Även övningarna finns inspelade, (men är inte identiska med de som ges i direkttid på sal och på zoom även om det oftast är samma uppgifter som gås igenom) och länkar till dem finns under respektive övning på länken Övningsplan , förutom övning 15 som ligger på media gallery på canvassidan.

Formel och Tabellsamling på tentamen

På tentan kommer inte längre egen medhavd Formelsamling och tabellsamling i matematisk statistik längre att tillåtas som hjälpmedel. I stället delas Formelsamling och tabellsamling i matematisk statistik ut vid själva tentamenstillfället och lämnas sedan in igen av tentanden tillsammans med tentan.

BETA ej längre tillåtet hjälpmedel på tentan

På gamla tentor stod att BETA är tillåtet hjälpmedel på tentan. Observera att BETA ej längre är tillåtet hjälpmedel på tentan.

Föreläsningsdagbok

Mån 13 dec Började med att berätta när CHI-2-test används och tog som inledande exempel på detta uppgift 15 på tentan 8 januari 2019. Första timmen ägnades sedan helt åt att grundligt gå igenom exempel 13.18 i läroboken som exempel på test av given fördelning där man dels måste skatta minst en parameter ur data (i detta fall μ) för att skatta p₁,p_2,.. p_r, dels slå ihop grupper för att villkoret np_i ≥ 5 skall gälla för alla i. Berättade sedan om när homogenitetstest används och tog som exempel på detta uppgift 5 på tentan 13 augusti 2018. Berättade efter detta att man vid oberoendetest kan använda sig av identiskt samma numerik som man gör vid homogenitetstest. Visade uppgift 5 på tentan 2017-01-09 som exempel på detta.

Ons 8 dec Började med att fortsätta med hypotesprövning m.h.a. konfidensintervallmetoden. Genom att använda exempel 13.8 gjorde jag nu hypotesprövning i fallet ensidigt test, dels med kofidensintervallmetoden dels med testvariabelmetoden. Detta gjordes med olika värden på risknivån alfa och m.h.a. detta visades också i vilket intervall p-värdet måste ligga. Gjorde sedan övningsuppgift 13.21a för att visa hur man tar fram styrkan hos ett test när man har använt sig av konfidensintervallmetoden. Utifrån detta visades även hur man tar fram styrkefunktionen - i detta fall h(delta) där delta =my_x-my_y. Gick sedan igenom linjär regression och visade att parametrarna alfa och beta skattas med Minsta-kvadrat-metoden. Fortsatte med att visa hur man m.h.a. nollhypotesen
H₀ :beta =0 kan avgöra om man ska kasta x eller ej. Avslutade med att skissa några exempel där man med hjälp av residualanalys kan avgöra huruvida det är troligt att y beror linjärt av x.

Mån 6 dec Inledde med att skriva upp en lista på viktiga definitioner och begrepp som används inom hypotesprövning, såsom nollhypotes,mothypotes, risknivå, p-värde, och styrka.Gick därefter igenom exempel 13.1 i läroboken som exempel på ett fall där man inte använder konfidensintervall för att testa sin nollhypotes och använde exempel 13.1 för att konkretisera begreppen nollhypotes,mothypotes, risknivå, och p-värde . Fortsatte därefter med exempel 13.4 i läroboken, där man tar fram styrkan hos testet i exempel 13.1 för alternativet p=0.9, och tog även fram styrkefunktionen h(p) i detta fall. Började sedan med exempel 13.8 och gjorde hypotesprövning i fallet tvåsidigt test, dels med konfidensintervallmetoden dels med testvariabelmetoden. Detta gjordes med olika värden på risknivån alfa och m.h.a. detta visades också i vilket intervall p-värdet måste ligga.

Tor 2 dec Började med att repetera hur konfidensintervallet ser ut för skillnaden mellan väntevärdena hos två Normalfördelade stickprov där standardavvikelserna är kända m.h.a §12.1 och §11.3.Sedan visades hur man m.h.a.§12.3 bildar ett konfidensintervall med approximativ konfidensgrad för skillnaden mellan väntevärdena hos två Normalfördelade stickprov där standardavvikelserna är okända och olika. Därefter visades m.h.a.§12.2 konfidensintervallet för skillnaden mellan väntevärdena hos två Normalfördelade stickprov där standardavvikelserna är okända och lika och hur man m.h.a. §11.2 viktar ihop de två stickprovsvarianserna för att få en skattning s av standardavvikelsen. Efter detta visades det viktiga fallet när man har parvisa observationer-"stickprov i par"- och att konfidensintervallet för väntevärdet av de parvisa skillnaderna då tas fram som om man har ett stickprov av parvisa skillnader. Som exempel på "Skillnad mellan stickprov" visades tentatal 2019-06-05:15 och som exempel på "Stickprov i par" visades tentatal 2019-08-12:15. Tog därefter fram konfidensintervallet för standardavvikelsen utgående från §12.4 i Formelsamlingen. Visade utgående från detta konfidensintervall hur konfidensintervallet för variansen ser ut. Visade också utgående från det tvåsidiga konfidensintervallet för variansen hur man tar fram det ensidiga.Gick sedan igenom konfidensintervall med approximativ konfidensgrad där §12.3 används. Visade att om stickproven är så stora så att C.G.S. kan användas, så kan man bilda konfidensintervall med approximativ konfidensgrad för väntevärden och skillnader mellan väntevärden även om observationerna inte kommer från en Normalfördelning. Avslutade kapitel 12 med att visa konfidensintervall med approximativ konfidensgrad för p när X tillhör Bin(n,p), för py- px när Y tillhör Bin(ny,py) och X tillhör Bin(nx,px) samt för my i Poisson-fördelningen och att det i alla dessa fall förutsätter att Normalapproximation är möjlig enligt villkoren i §5 respektive §6.

Ons 1 dec Började med att gå igenom Minsta kvadrat-metoden genom att skriva upp den formel för Q som ska minimeras som står i §9.2 . Tog sedan ett eget exempel där man vill skatta ytan av en kvadrat genom att mäta upp sidans längd och diagonalens längd. Tog sedan exempel 11.19 i läroboken som exempel på hur Minsta-kvadrat-skattning går till när två saker ska skattas.Definierade därefter begreppen konfidensintervall och konfidensgrad i allmänna fallet. Härledde därefter det tvåsidiga konfidensintervallet för väntevärdet när mätdata kommer från en Normalfördelning där standardavvikelsen är känd.Visade också hur man får samma konfidensintervall m.h.a.§12.1. Visade utgående från detta exempel hur man generellt bildar ensidigt nedåt begränsade och ensidigt uppåt begränsade konfidensintervall. Visade sedan m.h.a. §12.2 hur det tvåsidiga konfidensintervallet för väntevärdet ser ut när mätdata kommer från en Normalfördelning där standardavvikelsen är okänd. Som avslutning visades m.h.a §12.1 och §11.3 konfidensintervallet för skillnaden mellan väntevärdena hos två Normalfördelade stickprov där standardavvikelserna är kända.

Mån 29 nov Började kap 11 med att redogöra för skillnaden mellan det riktiga värdet TÄTA,stickprovsvariabeln TÄTA* och punktskattningen TÄTA*obs. Tog som exempel på skattning hur man brukar skatta väntevärdet my och standardavvikelsen sigma vid okänd fördelning. Tog sedan som ytterligare exempel på skattningar hur man skattar p i Binomialfördelningen,Hypergeometriska fördelningen och ffg-fördelningen,my i Poissonfördelningen, lambda i exponentialfördelningen.Definerade därefter begreppen väntevärdesriktighet och effektivitet och tog ett par enkla exempel på dessa.Definierade begreppet konsistens. Definerade sedan begreppet medelfel och tog som exempel på detta bl.a. skattningarna av andel i Binomialfördelningen och my i Poissonfördelningen. Presenterade därefter Maximum-Likelihood-metoden och räknade exempel 11.10 i läroboken som exempel på denna.

Ons 24 nov Började med kap 10 och definierade medelvärde, stickprovsvarians, populationsvarians, variationskoefficient, median, kovarians och korrelationskoefficient. Gick sedan igenom begreppen grupperade data,absolut och relativ frekvens, klassindelade data,histogram och boxplott.När tekniken äntligen fungerade visade jag snabbt övningsuppgifterna 10.2b 0ch 10.7 som exempel på hur man tar fram medelvärde, stickprovsstandardavvikelse och korrelationskoefficient utgående från givna data.Avslutade kapitel 10 med att visa hur man tar fram kvartiler och percentiler.Fortsatte sedan med att skriva upp en lista på viktiga definitioner och begrepp som används inom hypotesprövning såsom nollhypotes,mothypotes, risknivå, och p-värde.Gick sedan väldigt snabbt igenom linjär regression. Visade sedan hur man i multipel regression m.h.a. nollhypotesen H₀ : beta _i =0 kan avgöra om man ska kasta respektive oberoende variabel x_i eller ej. Avslutade med att på en filmduk visa och gå igenom övningsuppgift 14.7 a) som exempel på detta. För en utförligare genomgång av multipel regression och övningsuppgift 14.7 se media gallery: ljudforelasning 14 1 tim och 23 min och framåt. Linjär regression börjar vid tiden 1:06

Mån 22 nov Började med att göra exempel 6.2a,b som exempel på att varje linjärkombination av oberoende N-fördelade slumpvariabler är normalfördelad.Fortsatte med att gå igenom den viktiga Centrala Gränsvärdessatsen (CGS), som säger att summan av n oberoende likafördelade stokastiska variabler är approximativt normalfördelad om n är stort, och att detta även medför att medelvärdet är approximativt normalfördelat. Presenterade sedan den viktiga Centrala Gränsvärdessatsen (CGS), som säger att summan av n oberoende likafördelade stokastiska variabler är approximativt normalfördelad om n är stort, och att detta även medför att medelvärdet är approximativt normalfördelat. Avslutade kapitel 6 med att göra Exempel 6.6 som exempel på Centrala Gränsvärdessatsen. Definierade sedan Hypergeometriska fördelningen och skrev upp dess sannolikhetsfunktion. Definierade sedan Binomialfördelningen och skrev upp dess sannolikhetsfunktion. Talade om att Hyp(N,n,p)~ Bin(n,p) om n/N<0.1. Visade sedan utgående från Bernoullifördelningen att villkoret np(1-p)>10 för Normalapproximation egentligen är ett C.G.S.-villkor. Fortsatte med att gå igenom halvkorrektion. Avslutade kap 7 med att berätta att sannolikhetsdefinitionen för Binomialfördelningen övergår i sannolikhetsfunktionen för Poissonfördelningen om p är litet, vilket motiverar att om p<0.1 så gäller att Bin(n,p)~Po(np).

(I slutet på videoföreläsning 8 kan man se följande: 1)Genom att kombinera satsen om att summan av oberoende Poissonfördelade stokastiska variabler är Poissonfördelad med att dela upp intervallet där X är Poissonfördelad i många delintervall visas att villkoret µ>15 för normalapproximation egentligen är ett C.G.S.-villkor.
2) Härledningen för hur sannolikhetsdefinitionen för Binomialfördelningen övergår i sannolikhetsfunktionen för Poissonfördelningen om p är litet, vilket motiverar att om p<0.1 så gäller att Bin(n,p)~Po(np). )

Tor 18 nov Repeterade först definitioner av väntevärde och varians i en dimension Definierade sedan E[g(X,Y)]. Som övning på att räkna ut en kovarians gjorde jag sedan övningsuppgift 5.18a och b. Gick sedan igenom räkneregler för kovarianser och skrev upp att C(aX+bY,cZ+dW)=acC(X,Z)+adC(X,W)+bcC(Y,Z)+bdC(Y,W) vilket bl.a. m.h.a. att V(X)=C(X,X) leder till den viktiga regeln att V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2C(X,Y) och att V(X+Y)=V(X)+V(Y) om X och Y är oberoende. Avslutade första timmen med att skriva upp att uppmätt värde = korrekt värde+ systematiskt fel+ slumpmässigt fel, och att dålig noggrannhet är det samma som stort systematiskt fel medan dålig precision är det samma som stort slumpmässigt fel. Började med kap 6 Normalfördelningen andra timmen. Skrev först upp täthetsfunktionen och fördelningsfunktionen för normalfördelningen. Skrev efter det upp täthetsfunktionen och fördelningsfunktionen för standardiserade normalfördelningen N(0,1). Skrev sedan upp att om X är N(E[X],D[X]) så gäller att Y=(X-E[X])/D[X] är N(0,1). Berättade sedan om när och hur man använder Tabell 1 och Tabell 2 i formelsamlingen och vad alfa-kvantilen är. Tog fram P(E[X]-kD[X] < X < E[X]+kD[X]) för k=2 när X är N(E[X],D[X]) som exempel på hur Tabell 1 används, och visade sedan på väggen även sannolikheterna för att ett utfall hamnar minst två respektive tre standardavvikelser ifrån väntevärdet. Avslutade med att ta fram k när P(E[X]-kD[X]<X<E[X]+kD[X])=0.95 som exempel på hur Tabell 2 används och pekade på tabell 2 för att visa vad k ungefär blir när sannolikheterna är 0.99 och 0.999.

Tis 16 nov Började med kapitel 5 och startade med att berätta att väntevärdet är vad man får i genomsnitt om man gör oändligt många försök. T.ex. blir ju det genomsnittliga värdet av ett tärningskast 3.5. Gjorde sedan exempel 5.1 i boken. Skrev sedan upp definitionen för E(X) resp. E(g(X)) i det diskreta fallet och det kontinuerliga fallet. Tog sedan och räknade ut E(X²) i Ex. 5.1 i boken.Definierade även medianen för X. Definierade därefter variansen för X och standardavvikelsen D(X). Sedan använde jag mig även här av ex 5.1 i boken för att räkna ut variansen m.h.a. definitionen. Härledde sedan ur definitionen formeln V(X)=E(X²)-(E(X))² och räknade ut samma varians m.h.a. denna formel. Definierade sedan Variationskoefficienten R(X)=D(X)/E(X). Definierade även medianen för X. Gick sedan igenom följande viktiga räkneregler för väntevärden och varianser: E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c, V(aX+b)=V(aX)=a²V(X), samt om X och Y är oberoende: V(X+Y)=V(X)+V(Y).Tog därefter fram väntevärde och standardavvikelse för medelväret av n st ober stokastiska variabler. Skrev sedan upp Stora talens lag.
Definierade sedan begreppet kovarians och visade att V(X)=C(X,X). Definerade sedan begreppet korrelationskoefficient och berättade om dess egenskaper. Visade att om X och Y är oberoende så leder det till att E(XY)=E(X)E(Y) vilket i sin tur leder till att C(X,Y)=0, d.v.s. att X och Y är okorrelerade. Visade sedan att omvändningen inte behöver vara sann genom att göra exempel 5.13 i läroboken.

Tor 11 nov Började med att gå igenom funktioner av stokastiska variabler. Tog som exempel i det diskreta fallet exempel 3.16 i Blom och som kontinuerliga exempel gjorde jag exempel 3.20 och exempel 3.19 i Blom. Fortsatte med att gå igenom flerdimensionella diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler. Gick igenom begreppen simultan sannolikhetsfunktion repektive simultan täthetsfunktion och hur man ur dessa får fram den marginella sannolikhetsfunktionen respektive den marginella täthetsfunktionen och hur man vid oberoende även kan gå åt andra hållet. Visade sedan hur man räknar ut sannolikheter i det två-dimensionella diskreta och kontinuerliga fallet.Fortsatte med att visa hur man tar fram Fördelningsfunktionen för max(X,Y) och min(X,Y) utgående från Fördelningsfunktionerna för X respektive Y.
P.g.a. att en kvart av föreläsningen försvann p.g.a. att jag först gått till E1 i stället för M1 hoppade jag över att gå igenom summan av stokastiska variabler i det diskreta fallet I sället uppmanade jag till att själva läsa ex 4.9 som exempel på summa av två diskreta ober stok.var. Uppmanade även till att titta på ljudföreläsnig 5 fr.o.m. min 34 t.o.m. min 50 ungefär där bl.a. den viktiga satsen att summan av ober Poissonfördelade stok.var. är Poissonfördelad bevisas. Avslutade med att gå igenom ex 4.11 för att visa hur man i kontinuerliga fallet löser problem av typ summa av två ober stok.var.

Mån 8 nov Började med att gå igenom Binomialfördelningen och Poissonfördelngen och att summan av två oberoende Poissonfördelade stokastiska variabler är Poissonfördelad. Tog exempel 7.7 som exempel på detta. Fortsatte sedan med kontinuerliga stokastiska variabler. Definierade täthetsfunktionen och gick igenom hur man ur den får fram Fördelningsfunktionen och vice versa. Gick därefter igenom exponentialfördelningen.Fortsatte med att visa att tiden mellan två händelser är exponentialfördelad om antalet händelser är Poissonfördelat. Visade även att exponentialfördelningen saknar minne.Gick sedan igenom den likformiga fördelningen och tog som exempel på denna exempel 3.9 i läroboken.Berättade att eftersom hela kapitel 6 ägnas åt Normalfördelningen gås den igenom då. Avslutade med att som exempel på blandad(diskret och kontinuerlig) fördelning gå igenom exempel 3.14

Tor 4 nov Repeterade först lagen om total sannolikhet m.h.a. Venndiagram i samband med att jag tog exempel 2.17 som exempel på denna.Efter det visade jag Bayes sats m.h.a. Venndiagram i samband med att jag tog exempel 2.19 som exempel på denna. Visade sedan definitionen för oberoende utgående från betingningsformeln. Avslutade kapitel 2 med exempel 2.23 som exempel på oberoende.Inledde kapitel 3 med att gå igenom begreppet stokastisk variabel och definera sannolikhetsfunktionen. Tog som exempel på denna ex 3.1 i läroboken och ritade även upp stolpdiagrammet. Definierade sedan Fördelningsfunktionen och berättade om dess egenskaper. Tog som exempel på denna ex 3.1 i läroboken och ritade även upp den. Gick sedan igenom ett antal viktiga diskreta fördelningar. Började med tvåpunktsfördelningen och då speciellt Bernoullifördelningen. Fortsatte med den likformiga fördelningen och för-första-gången-fördelningen och den snarlika geometriska fördelningen. Avslutade med att gå igenom den hypergeometriska fördelningen. Binomialfördelningen och Poissonfördelningen hanns ej med och gås igenom på nästa föreläsning.

Tis 2 nov Började med fallet dragning med återläggning med hänsyn till ordning. Fortsatte med fallet dragning utan återläggning med hänsyn till ordning. Gick sedan igenom fallet dragning utan återläggning utan hänsyn till ordning. Gick därefter igenom sannolikheten att vid n dragningar utan återläggning utan hänsyn till ordning dra k vita kulor från v vita och s svarta kulor. Utvidgade sedan detta till sannolikheten att dra b blåa och; r röda och g gula o.s.v när man har 3 färger. Började sedan med betingad sannolikhet. Illustrerade betingningsformeln m.h.a. exemplet på sid 26 i läroboken. Visade lagen om total sannolikhet m.h.a. Venndiagram och tog exempel 2.17 som exempel på denna.

Mån 1 nov Presenterade först kursens hemsida som hittas som startsida på canvas och på http://www.math.kth.se/matstat/gru och visa olika länkar och dess innehåll.Fortsatte med att ge exempel på olika användningsområden som ämnet matematisk statistik har och denna kurs ger en introduktion till. Började sedan med att gå igenom utfall,utfallsrum,händelser. Förklarade därefter skillnaden mellan diskreta och kontinuerliga utfallsrum. Tog övningsuppgift 2.1a och b som exempel på diskreta utfallsrum. Gick sedan igenom snitt, union, komplement och visade hur man med hjälp av Venndiagram räknar ut sannolikheter. Definierade i samband med detta disjunkthet. Resten av tiden ägnades åt att inleda kombinatoriken genom att gå igenom den klassiska sannolikhetsdefinitinen och multiplikationsprincipen .

[Kursförteckning] [Avdelningen Matematisk statistik]

Sidansvarig: Björn-Olof Skytt
Uppdaterad: 2019-10-21