Aktuell information för SF1904

Kursutvärdering

Svara gärna på denna korta kursutvärdering.

Omtentamen

Omtentamen är den 21 augusti

Anmälningstid för tentamen: fr o m måndagen den 27 april - t o m söndagen den 17 maj kl 2400.

15-05-07 Föreläsning 6

Sista föreläsningen!

Gick igenom kö-teori under hela föreläsningen, beskrev det som ett system med två komponenter ett antal betjäningsstationer och en gemensam kö. Gick igenom beteckningarna som används, vilket motsvarar en sida i formelsamlingen. Pratade lite allmänt om olika typer av köer som inte Markovianska.

Gick igenom M/M/2-kön ordentligt och beräknade stationär fördelning, förväntat antal kunder i system, förväntat antal kunder i kön, förväntad kö+tid och förväntad tid i systemet.

Presenterade Littles formler som beskriver hur kö-längd, system-längd, kötid och system-tid hänger ihop. Det räcker med att känna en av dessa för att beräkna resten.

Presenterade nätverk av M/M/c köer, så kallade Jacksonnätverk, genom att räkna ett gammalt tentatal.

Avslutade föreläsningen med att prata lite om vad det innebär att betjäningstiden är exponentialfördelad, pratade lite kort om M/G/1 systemet som man kan lösa om man känner betjäningstidens varians och väntevärde.

Slides föreläsning 6

15-04-24 Föreläsning 5

Repeterade allting som vi gått igenom som rör Markovprocesser hittills.

Pratade om Poissonprocessen och om de tre ekvivalenta definitionerna. Motiverade att dessa definitioner är ekvivalenta. Pratade lite om att i en Poissonprocess kan vi lösa framåtekvationerna vilket leder till att vi vet hur fördelningen att göra ett visst hopp under viss tid ser ut.

Visade att summan av oberoende Poissonprocesser också är en Poissonprocess med intensitet som är summan av intensiteter.

Pratade lite om både Poissonprocesser i planet och om Poissonprocesser med tidsberoende intensiteter.

Pratade också lite om födelseprocesser.

Avslutade med att gå igenom födelse-döds processer. Använde exemplet M/M/1 - kö och beräknade förväntad kö-längd och förväntad kö-tid.

Nästa föreläsning är sista föreläsningen och då ska vi prata mer om kösystem.

Slides föreläsning 5

15-04-20 Föreläsning 4

Började med att återuppfriska minnet av Markovprocesser, pratade lite om de olika villkoren vi har ställt upp och vad som är speciellt med en Reguljär process (de gör endast ändligt antal hopp under ändlig tid). Poängterade att många definitioner (ändlig, irreducibel, genomgångstillstånd, absorberande tillstånd m.m.) är lika eller väldigt snarlika definitionerna vi pratat om tidigare.

Pratade lite igen om den inbäddade Markovkedjan och hur den kan hjälpa oss att studera Markovprocesser.

Introducerade absorption för Markovprocesser och pratade om hur absorptionssannolikheterna och medelabsorptionstid kan beräknas. Påpekade hur snarlika systemen är och att bevisen sker genom att studera den inbäddade Markovkedjan

Introducerade den stationära fördelningen och visade både global balans (netto förändringen är noll i systemet) och lokal balans (flöde från i till j är lika med flödet från j till i). Påpekade att om en fördelning uppfyller lokal balans är det en stationär fördelning men omvändning gäller ej.

Pratade om ergodicitet för Markovprocesser och att kraven vi har är att den är ändlig och irreducibel. I en oändlig Markovprocess måste det även existera en stationär fördelning. Visade hur man kan beräkna uppehålls tid i ett tillstånd mellan två besök i ett annat tillstånd och förväntade återkomstttid. Bevisade även dess uttryck genom att studera den inbäddade Markovkedjan och utnyttja resultaten vi har för Markovkedjor.

Introducerade Poissonprocessen som ett specialfall av en Markovprocess. Visade tre olika ekvivalenta defintioner av en Poissonprocess

Slides föreläsning 4

15-04-26 Föreläsning 3

Avslutade delen om Markovkedjor genom att prata lite om hur irreducibla kedjor med period d uppträder (de hoppar mellan d olika tillståndsm'ngder i ordning). Pratade också lite om icke-ändliga Markovkedjor och gjorde ett exempel på en slumpvandring.

Introduktion till Markovprocesser. Införde övergångssannolikheterna och övergångsmatriserna, påpekade att de veror på vilken tidshorisont vi kollar på. Presenterade Chapman-Kolmogorov för Markovprocesser och beskrev problemen med att jobba med de ekvationer i motsats till Markovkedjorna. Visade att tiden i ett tillstånd måste vara exponentialfördelad för att Markovegenskapen ska gälla.

Introducerade intensitetsmatrisen som högerderivatan i nollan av övergångsmatrisen. Visade att radsumman i matrisen måste vara noll och att diagonalelementen beskriver uthoppsintensiteten.

Introducerade den innbäddade Markovkedjan som den Markovkedja som förklarar hur en Markovprocess hoppar.

Pratade lite om absorption i Markovprocesser och att ett absorberande tillstånd betyder att dess rad i intensitetsmatrisen består av nollor.

Slides föreläsning 3

15-03-30 Föreläsning 2

Fortsättning av Markovkedjor i diskret tid. Tog upp absorption igen och gjorde klart uppgift 16. Presenterade satser för absorptionssannolikheter och medelabsorptionstid.

Pratade om klassifikation av tillstånd, speciellt kommunikation mellan två tillstånd (att man kan gå fram och tillbaka mellan två tillstånd) pratade även om irreducibla mängder (mängd av tillstånd som alla kommunicerar med varandra) och slutna delmängder (man kan inte lämna delmängden).

Pratade om periodicitet (största gemensamma delaren av alla återvändningstider) speciellt begreppet att ett tillstånd är aperiodiskt, dv.s perioden för ett tillstånd är 1. Nämnde också att alla tillstånd i en irreducibel delmängd har samma period.

Pratade om ergodiska Markovkedjor, Markovkedjor där fördelningen konvergerar mot den stationära fördelningen efter lång tid oavsett startfördelning. För den intresserade finns här ett enkelt bevis för att en ändlig kedja har minst en stationär fördelning.

Presenterade att en ändlig, irreducibel och aperiodisk Markovkedja är ergodisk.

Presenterade att den stationära fördelningen i en ändlig irreducibel Markovkedja är entydig och förhållandet mellan förväntad återkomsttid och den stationära fördelningen.

Pratade om hur man kan göra då man har en icke-irreducibel Markovkedja. Visade genom ett exempel att man ändå kan beräkna gränsfördelningar men att de då beror på startpunkten. Detta görs genom teorin för absorption.

Presenterade lite snabbt på slutet hur man hanterar kedjor med icke-ändligt tillståndsrum.

Slides föreläsning 2

15-03-25 Föreläsning 1

Repetition av betingad sannolikhet samt lagen om total sannolikhet. Introduktion till Markovteori. Allmänna stokastiska processer och Markovegenskapen (minneslöshet). Markovprocesser med diskreta tillståndsrum (markovkedjor). Definierade viktiga begrepp, som övergångssannolikheter, övergångsmatrisen, och visade Chapman-Kolmogorovs ekvationer. Begreppet stationärfördelning, dvs en fördelning som uppfyller π=πP. Huvudproblemet kommer att vara att uttala sig om Markovkedjans uppträdande efter lång tid.

För den intresserade finns här ett enkelt bevis för att en Markovkedja med ändligt tillståndsrum E alltid har minst en stationär fördelning.

Inledning till absorption för vissa Markovkedjor och illustrerade med ett tärningsspel enligt uppgift 16 i kompendiet. Gör klart detta exempel på nästa föreläsning.

Slides föreläsning 1.