Aktuell information för SF1904
På denna sida presenteras aktuell information som vad som behandlats
på föreläsningar samt schemaändringar etc.
Tentamen 16 aug 2019 med lösningar finns nu
på
Gamla
tentor för SF1904
Betygsgränserna är A 43, B 38, C 32, D 25, E 20,
FX 18.
Antalet övningsgrupper har minskat till 2. Sal V22
utgår.
Grupperna kallas 2 och 3 tills vidare eftersom det tar
schemaläggningen 14 dagar att ta bort en sal från schemat.
På indexsidan (sidan med alla länkarna) står det att en av
lathundarna är tillåten som hjälpmedel på tentamen. Därför
står det (till skillnad från vissa föregående tentor)
i huvudet på den kommande tentan 28 maj att hjälpreda till
miniräknare är tillåtet hjälpmedel på tentamen.
Ons 8 maj Började med att introducera M/M/1-systemet och
tog fram gränsfördelningen för detsamma utgående från att det är en
födelse-dödsprocess och visade att villkoren för stationaritet
uppfylls. Härledde även förväntat antal kunder, l i M/M/1-
systemet,och tog ur det fram förväntad kölängd,lq.
Därefter introducerades M/M/2-systemet och gränsfördelningen togs
fram för detsamma utgående från att det är en födelse-dödsprocess.
Härledde också förväntat antal kunder, l i M/M/ 2- systemet,och tog
ur det fram förväntad kölängd,lq. Därefter visades hur
dödsintensiterna för ett M/M/c-system ser ut och i samband med detta
gavs en mycket snabb översikt av formlerna i §16.2. Gick sedan
igenom det mest grundläggande om Jackson-nätverk och räknade
tentatalet 15-06-09:5 som exempel på detta. Visade sedan §
16.3 och som exempel på situationen Poissonfördelade ankomster med
betjäningstider som inte är exponentialfördelade räknades som
avslutning övningsuppgift 74 i kompendiet.
Tis 30 apr Började med att gå igenom födelseprocessen( som
ju Poissonprocessen är ett specialfall av). Fortsatte med att visa
att vi kan få explosion, dvs att man når oändligheten på ändlig tid
och visade (tillräckligt och nödvändigt) villkor för att detta inte
skall ske. D.v.s. villkoret för reguljär födelseprocess. Tog sedan
som exempel dels en icke-reguljär och dels en reguljär
födelseprocess. Fortsatte med att definiera begreppet
Födelse-dödsprocess. Löste sedan ekvationssystemet 0 = ?Q
för att få
fram den stationära lösningen om den existerar, varvid faktorn ?i
introducerades på ett naturligt sätt. Visade sedan hur man kan visa
villkoren för att processen ska vara reguljär och skrev upp
villkoret för att Födelse-dödsprocessen skall vara reguljär samt
villkoren för att den ska vara staionär(är den stationär så är den
också reguljär). Började sedan med köteori och gick igenom
nästan alla beteckningar på sid 11 i formelsamlingen (§16.1). Visade
Littles formel och att om man vet värdet på en av l,lq,w
och wq så kan man beräkna de övriga om man känner till
ankomstintensiteten,betjäningsintensiteten och trafikintensiteten.
Avslutade med att förklara Kendalls beteckningssystem: A/B/c.
Fre 12 apr Började med att repetera definitionen av
Markovprocess i kontinuerlig tid, tidshomogen process, hur
intensitetsmatrisen och uthoppssannolikhetsmatrisen ser ut samt att
tiden till uthopp är exponentialfördelad. Visade som exempel på hur
elementen i Q kan se ut ett exempel av tillförlitlighetskaraktär,
nämligen exempel 6.3 i kompendiet. Jämförde sedan formlerna för
absorption i det kontinuerliga fallet med dem i det diskreta fallet.
Härledde därefter Kolmogorovs framåt-respektive bakåtekvationer som
visar att vi kan få P(t) ur Q. Skrev dessutom upp det konkreta
systemet av kopplade diffekvationer p'(t)=p(t)Q som behövs för att
erhålla de obetingade sannolikheterna. Definierade därpå stationär
fördelning och visade att den kan fås genom att lösa 0=?Q.(som
härleddes utgående från ekvationssystemet ?=?P(t) och
Kolmogorovs framåtekvation.) Berättade att en irreducibel kedja (
mer allmänt att kedjan har bara en sluten irreducibel delklass) på
ett ändligt E är ergodisk.(Här i det kontinuerlga fallet finns ju
ingen period ,så här är ju aperiodiciteten inget krav.) För kedjor
med oändligt E krävs också att det existerar en stationär
fördelning. Notera att den inbäddade hoppkedjan som beskrivs av
uthoppssannolikhetsmatrisen mycket väl kan få vara periodisk. Skrev
upp hur ?i kan tolkas som andel av tiden som en ergodisk
kedja ligger i tillstånd i, och även formeln för den förväntade
tiden man ligger tillstånd j mellan två besök i tillstånd i, och
jämförde även här med det diskreta fallet. Gick avslutningsvis
igenom Poissonprocessen.
Fre 5 apr Började med att repetera att Markovkedjor
med ändligt tillståndsrum har minst en stationär fördelning. Är
kedjan dessutom irreducibel har den exakt en stationär fördelning.
Är den dessutom aperiodisk är denna desutom oberoende av
startfördelning d.v.s. ergodisk.
Tog därefter ett exempel med en aperiodisk Markovkedja med 4
tillstånd, varav ett absorberande, ett genomgångstillstånd och 2
tillstånd som bildar ett slutet irreducibelt underrum som exempel på
när man får oändligt många stationära fördelningar eftersom kedjan
ej är irreducibel men ändlig.
Gick sedan igenom att i en ergodisk kedja kan asymptotiska
sannolikheterna ?i fås som andelen av tiden som kedjan
tillbringar i tillståndet i. Detta ger ?i=1/E(Ti)
där Ti är tiden mellan två besök i tillstånd i . Det
gäller då även att att ?j/?i är förväntat
antal besök i j mellan två besök i tillstånd i
eftersom om t ex denna kvot är två bör man göra dubbelt så många
besök i j som i i dvs i genomsnitt 2 st per cykel
baserad på i. Gjorde ett exempel på detta.
Gjorde sedan ett exempel med en aperiodisk irreducibel
övergångsmatris med oändligt antal tillstånd där det visades att
det i vissa fall existerade en lösning som därmed är den enda och
att kedjan därmed är ergodisk.
Började sedan med Markovprocesser i kontinuerlig tid.
Införde övergångssannolikheterna pij(t) som bildar
matrisen P(t). Skrev upp Chapman-Kolmogorovs ekvationer i
kontinuerlig tid och visade på likheten med motsvarande ekvationer
i diskret tid. Tog även upp att processen skall vara reguljär,
d.v.s. bara ha ändligt många övergångar på ändlig tid.
Berättade efter detta att eftersom vi har tidshomogena processer
som saknar minne är tiden till uthopp från ett tillstånd i
exponentialfördelad exp(qi), där qi är
uthoppsintensiteteten och visade minneslösheten hos
exponentialfördelningen.
Tog sedan fram intensitetsmatrisens element genom att
högerderivera övergångsmatrisens element i nollan m.a.p. på tiden
Införde sedan övergångsintensitetsmatrisen Q. Visade
därefter att på diagonalen i Q står qii som måste vara
negativt och visade att qi=-qii så att
man i Q-matrisen på diagonalen kan läsa av
uppehållsstidernas fördelningar (de är Exp(qi).Visade
att varje radsumma=0 i Q. Visade till sist att sannolikheten för
hopp från i till j är qij/qi. .
Tis 27 mar Började med att gå igenom begreppen
absorberande tillstånd, genomgångstillstånd och A-kedja. Använde
övningsuppgift 16 i läroboken som exempel för att visa hur man
räknar ut sannolikheten att absorberas i tillstånd j vid start i
tillstånd i, samt för att räkna ut den genomsnittliga tiden för
absorption vid start i tillstånd i. Gick sedan igenom begreppen
sluten och irreducibel. Illustrerade detta med en egen
tillståndsgraf. Gick efter detta igenom definitionerna för när en
fördelning är stationär och när den är ergodisk. Gick därefter
igenom definition 4.4 i läroboken för att definiera begreppet
aperiodisk och en kedjas period. Illustrerade detta m.h.a. tre olika
tillståndsgrafer. Tog sedan en irreducibel och aperiodisk
Markovkedja med 3 tillstånd som exempel på när man får en och endast
en stationär fördelning oberoende av startfördelning. Visade även
ett exempel med en ändlig och irreducibel Markovkedja med 2
tillstånd med perioden 2 som exempel på när man får en statonär
fördelning som beror av startfördelningen.
Ons 20 mar P.g.a. att tekniken inte fungerade försvann
tio minuter från föreläsningen. Presenterade sedan kursens hemsida
som hittas på http://www.math.kth.se/matstat/gru eller på canvas och
visade olika länkar och dess innehåll. Repeterade sedan begreppen
betingad sannolikhet och lagen om total sannolikhet från
grundkursen.
Definierade därefter begreppet stokastisk process och visade exempel
på sådana. Definierade även begreppen parameterrum och
tillståndsrum innan definitionen för en Markovprocess presenterades.
Gav efter det muntligen några exempel på Markovprocesser. Gick sedan
igenom begreppen övergångssannolikhet, övergångsmatris,
uthoppssannolikhet fördelningsvektor och startfördelning. Räknade
sedan ett exempel på detta utgående från en tillståndsgraf. Visade i
samband med detta exempel Chapman-Kolmogorovs ekvationer som står i
Formelsamlingen.
|
