Aktuell information för SF1904
På denna sida presenteras aktuell information som vad som behandlats
på föreläsningar samt schemaändringar etc.
På indexsidan (sidan med alla länkarna) står det att en av
lathundarna är tillåten som hjälpmedel på tentamen. Därför
står det (till skillnad från föregående tentor) i
huvudet på den kommande tentan 30 maj att hjälpreda till
miniräknare är tillåtet hjälpmedel på tentamen.
Alla ska aktivera sig på rapp.
Använd "aktiv".
Ons 9 maj Började med att introducera M/M/1-systemet och
tog fram gränsfördelningen för detsamma utgående från att det är en
födelse-dödsprocess och visade att villkoren för stationaritet
uppfylls. Härledde till sist förväntat antal kunder, l i M/M/1-
systemet,och tog ur det fram förväntad kölängd,lq.
Därefter introducerades M/M/2-systemet och gränsfördelningen togs
fram för detsamma utgående från att det är en födelse-dödsprocess.
Härledde också förväntat antal kunder, l i M/M/ 2- systemet,och tog
ur det fram förväntad kölängd,lq. Därefter visades hur
dödsintensiterna för ett M/M/c-system ser ut och i samband med detta
gavs en mycket snabb översikt av formlerna i §16.2. Gick sedan
igenom det mest grundläggande om Jackson-nätverk och räknade
tentatalet 15-06-09:5 som exempel på detta. Visade sedan §
16.3 och som exempel på detta med situationen Poissonfördelade
ankomster med betjäningstider som inte är exponentialfördelade
räknades som avslutning övningsuppgift 74 i kompendiet.
Ons 2 maj Började med att gå igenom födelseprocessen( som ju
Poissonprocessen är ett specialfall av). Fortsatte med att visa att
vi kan få explosion, dvs att man når oändligheten på ändlig tid och
visade (tillräckligt och nödvändigt) villkor för att detta inte
skall ske. D.v.s. villkoret för reguljär födelseprocess. Tog sedan
som exempel dels en icke-reguljär och dels en reguljär
födelseprocess. Fortsatte med att definiera begreppet
Födelse-dödsprocess. Löste sedan ekvationssystemet 0=?Q
för att få
fram den stationära lösningen om den existerar, varvid faktorn ?i
introducerades på ett naturligt sätt. Visade sedan hur man kan visa
villkoren för att processen ska vara reguljär och skrev upp
villkoret för att Födelse-dödsprocessen skall vara reguljär samt
villkoren för att den ska vara staionär(är den stationär så är den
också reguljär). Började sedan med köteori och gick igenom
nästan alla beteckningar på sid 11 i formelsamlingen (§16.1). Visade
Littles formel och att om man vet värdet på en av l,lq,w
och wq så kan man beräkna de övriga om man känner till
ankomstintensiteten,betjäningsintensiteten och trafikintensiteten.
Avslutade med att förklara Kendalls beteckningssystem: A/B/c.
Tor 19 apr Började med att repetera definitionen av
Markovprocess i kontinuerlig tid, tidshomogen process, hur
intensitetsmatrisen och uthoppssannolikhetsmatrisen ser ut samt att
tiden till uthopp är exponentialfördelad. Visade som exempel på hur
elementen i Q kan se ut ett exempel av tillförlitlighetskaraktär,
nämligen exempel 6.3 i kompendiet. Jämförde sedan formlerna för
absorption i det kontinuerliga fallet med dem i det diskreta fallet.
Härledde därefter Kolmogorovs framåt-respektive bakåtekvationer som
visar att vi kan få P(t) ur Q. Skrev dessutom upp det konkreta
systemet av kopplade diffekvationer p'(t)=p(t)Q som behövs för att
erhålla de obetingade sannolikheterna. Definierade därpå stationär
fördelning och visade att den kan fås genom att lösa 0=?Q.(som
härleddes utgående från ekvationssystemet ?=?P(t) och
Kolmogorovs framåtekvation.) Berättade att en irreducibel kedja (
mer allmänt att kedjan har bara en sluten irreducibel delklass) på
ett ändligt E är ergodisk.(Här i det kontinuerlga fallet finns ju
ingen period ,så här är ju aperiodiciteten inget krav.) För kedjor
med oändligt E krävs också att det existerar en stationär
fördelning. Notera att den inbäddade hoppkedjan som beskrivs av
uthoppssannolikhetsmatrisen mycket väl kan få vara periodisk. Skrev
upp hur ?i kan tolkas som andel av tiden som en ergodisk
kedja ligger i tillstånd i, och även formeln för den förväntade
tiden man ligger tillstånd j mellan två besök i tillstånd i, och
jämförde även här med det diskreta fallet. Gick avslutningsvis
igenom Poissonprocessen.
Tor 12 apr Började med att repetera att Markovkedjor
med ändligt tillståndsrum har minst en stationär fördelning. Är
kedjan dessutom irreducibel har den exakt en stationär fördelning.
Är den dessutom aperiodisk är denna desutom oberoende av
startfördelning d.v.s. ergodisk.
Gick sedan igenom att i en ergodisk kedja kan asymptotiska
sannolikheterna ?i fås som andelen av tiden som kedjan
tillbringar i tillståndet i. Detta ger ?i=1/E(Ti)
där Ti är tiden mellan två besök i tillstånd i . Det
gäller då även att att ?j/?i är förväntat
antal besök i j mellan två besök i tillstånd i
eftersom om t ex denna kvot är två bör man göra dubbelt så många
besök i j som i i dvs i genomsnitt 2 st per cykel
baserad på i. Gjorde ett exempel på detta.
Gjorde sedan ett exempel med en aperiodisk irreducibel
övergångsmatris med oändligt antal tillstånd där det visades att
det i vissa fall existerade en lösning som därmed är den enda och
att kedjan därmed är ergodisk.
Började sedan med Markovprocesser i kontinuerlig tid.
Införde övergångssannolikheterna pij(t) som bildar
matrisen P(t). Skrev upp Chapman-Kolmogorovs ekvationer i
kontinuerlig tid och visade på likheten med motsvarande ekvationer
i diskret tid. Tog även upp att processen skall vara reguljär,
d.v.s. bara ha ändligt många övergångar på ändlig tid.
Berättade efter detta att eftersom vi har tidshomogena processer
som saknar minne är tiden till uthopp från ett tillstånd i
exponentialfördelad exp(qi), där qi är
uthoppsintensiteteten och visade minneslösheten hos
exponentialfördelningen.
Tog sedan fram intensitetsmatrisens element genom att
högerderivera övergångsmatrisens element i nollan m.a.p. på tiden
Införde sedan övergångsintensitetsmatrisen Q. Visade
därefter att på diagonalen i Q står qii som måste vara
negativt och visade att qi=-qii så att
man i Q-matrisen på diagonalen kan läsa av
uppehållsstidernas fördelningar (de är Exp(qi).Visade
att varje radsumma=0 i Q. Visade till sist att sannolikheten för
hopp från i till j är qij/qi. .
Mån 26 mar Började med att gå igenom begreppen
absorberande tillstånd, genomgångstillstånd och A-kedja. Använde
övningsuppgift 16 i läroboken som exempel för att visa hur man
räknar ut sannolikheten att absorberas i tillstånd j vid start i
tillstånd i, samt för att räkna ut den genomsnittliga tiden för
absorption vid start i tillstånd i. Gick sedan igenom begreppen
sluten och irreducibel. Illustrerade detta med en egen
tillståndsgraf. Gick efter detta igenom definitionerna för när en
fördelning är stationär och när den är ergodisk. Gick därefter
igenom definition 4.4 i läroboken för att definiera begreppet
aperiodisk och en kedjas period. Illustrerade detta m.h.a. tre olika
tillståndsgrafer. Tog sedan en irreducibel och aperiodisk
Markovkedja med 3 tillstånd som exempel på när man får en och endast
en stationär fördelning oberoende av startfördelning. Visade även
ett exempel med en ändlig och irreducibel Markovkedja med 2
tillstånd med perioden 2 som exempel på när man får en statonär
fördelning som beror av startfördelningen. Tog till sist ett exempel
med en aperiodisk Markovkedja med 4 tillstånd, varav ett
absorberande, ett genomgångstillstånd och 2 tillstånd som bildar ett
slutet irreducibelt underrum som exempel på när man får oändligt
många stationära fördelningar eftersom kedjan ej är irreducibel men
ändlig.
Tis 21 mar Presenterade först kursens hemsida som
hittas på http://www.math.kth.se/matstat/gru och visade olika länkar
och dess innehåll. Repeterade sedan begreppen betingad sannolikhet
och lagen om total sannolikhet från grundkursen.
Definierade därefter begreppet stokastisk process och visade exempel
på sådana. Definierade även begreppen parameterrum och
tillståndsrum innan definitionen för en Markovprocess presenterades.
Gav efter det muntligen några exempel på Markovprocesser. Gick sedan
igenom begreppen övergångssannolikhet, övergångsmatris,
uthoppssannolikhet fördelningsvektor och startfördelning. Räknade
sedan ett exempel på detta utgående från en tillståndsgraf. Visade i
samband med detta exempel Chapman-Kolmogorovs ekvationer i
Formelsamlingen.Fortsatte med att gå igenom begreppen
absorberande tillstånd, genomgångstillstånd och A-kedja. Började
räkna övningsuppgift 16 i läroboken som exempel för att visa
hur man räknar ut sannolikheten att absorberas i tillstånd j vid
start i tillstånd i generellt. Hann dock inte riktigt klart med
detta utan får fortsätta med detta nästa föreläsning.
|
