Tid för tentan i Augusti 2017 är nu fastslagen. Den går fre 18 augusti 08.00-13.00. Anmälningstid: 5 juli-31 juli.

På indexsidan (sidan med alla länkarna) står det att en av lathundarna är tillåten som hjälpmedel på tentamen. Därför står  det (till skillnad från föregående tentor)  i huvudet på den kommande tentan 30 maj att hjälpreda till miniräknare är tillåtet hjälpmedel på tentamen.

      Alla ska aktivera sig på rapp. Använd "aktiv".

OBS! Föreläsningen tis 28 mars 13-15 är flyttad från B2 till Q1.

Tor 6 apr Började med att ta om exemplet som jag alltför hastigt gick igenom förra föreläsningen. Ett exempel med en aperiodisk  Markovkedja med 4 tillstånd, varav ett absorberande, ett genomgångstillstånd och 2 tillstånd som bildar en sluten irreducibel delklass. Detta är ett exempel på när man får oändligt många stationära fördelningar eftersom kedjan ej är irreducibel men ändlig. Eftersom kedjan dessutom är aperiodisk och den slutna delklassen irreducbel och aperiodisk så finns det för varje startfördelning en stationär fördelning som också är gränsfördelningen för just den startfördelningen. Visade hur denna såg ut för en godtycklig startvektor genom att visa hur man med  A-kedjemetodik kan  beräkna sannolikheten att absorberas i den slutna irreducibla delklassen. Eftersom den är aperiodisk konvergerar fördelningen mot den stationära i den slutna irreducibla delklassen om man väl absorberats i denna delklass.

Gick sedan igenom att i en ergodisk kedja kan asymptotiska sannolikheterna ?_i fås som andelen av tiden som kedjan tillbringar i tillståndet i. Detta ger ?_i=1/E(T_i) där T_i är tiden mellan två besök i tillstånd i . Det gäller då även att att ?_j/?_i är förväntat antal besök i j mellan två besök i tillstånd i eftersom om t ex denna kvot är två bör man göra dubbelt så många besök i j som i i dvs i genomsnitt 2 st per cykel baserad på i. Gjorde ett exempel på detta.

Gjorde sedan ett exempel med en aperiodisk irreducibel övergångsmatris med oändligt antal tillstånd där det visades att det i vissa fall existerade en lösning som därmed är den enda och att kedjan därmed är ergodisk.

Började sedan med Markovprocesser i  kontinuerlig tid. Införde övergångssannolikheterna p_ij(t) som bildar matrisen P(t). Skrev upp Chapman-Kolmogorovs ekvationer i kontinuerlig tid och visade på likheten med motsvarande ekvationer i diskret tid. Tog även upp att processen skall vara reguljär, d.v.s. bara ha ändligt många övergångar på ändlig tid.
Berättade efter detta att eftersom vi har tidshomogena processer som  saknar minne är tiden till uthopp från ett tillstånd i exponentialfördelad exp(q_i), där q_i är uthoppsintensiteteten och visade minneslösheten hos exponentialfördelningen.

Tog sedan fram intensitetsmatrisens element genom att högerderivera övergångsmatrisens element i nollan m.a.p. på tiden Införde sedan  övergångsintensitetsmatrisen Q. Visade därefter att på diagonalen i Q står q_ii som måste vara negativt och visade att q_i=-q_ii så att man  i Q-matrisen på diagonalen kan läsa av uppehållsstidernas fördelningar (de är Exp(q_i).Visade att varje radsumma=0 i Q.Visade till sist att sannolikheten för hopp från i till j är q_ij/q_i. . 

Tis 28 mar  Började med att gå igenom begreppen absorberande tillstånd, genomgångstillstånd och A-kedja. Använde övningsuppgift 16 i läroboken som exempel för att visa  hur man räknar ut sannolikheten att absorberas i tillstånd j vid start i tillstånd i, samt för att räkna ut den genomsnittliga tiden för absorption vid start i tillstånd i. Gick sedan igenom begreppen sluten och irreducibel. Illustrerade detta med en egen tillståndsgraf. Gick efter detta igenom definitionerna för när en fördelning är  stationär och när den är ergodisk. Gick därefter igenom definition 4.4 i läroboken för att definiera begreppet aperiodisk och en kedjas period. Illustrerade detta m.h.a. tre olika tillståndsgrafer. Tog sedan en irreducibel och aperiodisk Markovkedja med 3 tillstånd som exempel på när man får en och endast en stationär fördelning oberoende av startfördelning. Tog  därefter en ändlig och irreducibel Markovkedja med 2 tillstånd med perioden 2 som exempel på när man får en statonär fördelning som beror av startfördelningen. Tog till sist ett exempel med en aperiodisk  Markovkedja med 4 tillstånd, varav ett absorberande, ett genomgångstillstånd och 2 tillstånd som bildar ett slutet irreducibelt underrum som exempel på när man får oändligt många stationära fördelningar eftersom kedjan ej är irreducibel men ändlig.