Laboration 3

Se till att komma till labbsalen minst tio minuter före redovisningstiden så att ni hinner logga in på datorn och öppna Matlab samt ta fram era redovisningsuppgifter.

Ni behöver också ha med er en utskrift av labbspecifikationen som ni har skrivit era personnummer på förstasidan på. Denna utskrift undertecknar labbassistenten efter att hen har godkänt labben och utskriften fungerar sedan som ert kvitto på resultatet.

Föreläsningsinformation

2017-12-07 Fjortonde föreläsningen. Slides finns här.

2017-12-05 Trettonde föreläsningen. Slides finns här.

2017-11-28 Elfte föreläsningen. Slides finns här.

2017-11-27 Tionde föreläsningen. Slides finns här.

2017-11-23 Nionde föreläsningen. Slides finns här.

2017-11-20 Åttonde föreläsningen. Slides finns här.

Kapitel 7 om diskreta sannolikhetsmodeller, speciellt binomialfördelning och dess släktingar.

Om binomialfördelning. Framställning av binomialfördelningen som fördelning för summa av indikatorer. Detta användes för att ta fram väntevärde och varians för binomialfördelningen.

Tumregel för normalapproximation av binomialfördelningen med Centrala gränsvärdessatsen.

Lite om Hypergeometrisk fördelning, framför allt hur den kan approximeras med binomialfördelning då andelen valda kulor är litet i förhållande till urnans storlek, vilket svarar mot att det då inte spelar någon roll om dragningen sker med eller utan återläggning. För den intresserade finns här en härledning av väntevärde och varians för den hypergeometriska fördelningen som jag antydde på föreläsningen.

Sats om att summan av oberoende Poisson-fördelade stokastiska variabler är Poisson-fördelad. Detta medför att Poissonfördelningen närmar sig normalfördelningen när väntevärdet ökar.

2017-11-15 Sjunde föreläsningen. Slides finns här.

Repeterade de viktiga räknereglerna för väntevärde och varians. Förklarade även att kovariansen är bilinjär, vilket ofta är praktiskt när man räknar.

Kapitel 6 om den viktiga normalfördelningen. Definition och egenskaper, speciellt egenskapen att alla linjärkombinationer av oberoende normalfördelade stokastiska variabler är normalfördelade. Lite om användningen av Φ-tabell dvs tabell över fördelningsfunktionen för den standardiserade normalfördelningen N(0,1).

Centrala gränsvärdessatsen illustrerades med poängsumma av många tärningskast.

2017-11-13 Sjätte föreläsningen. Slides finns här.

Mer om väntevärden och varianser. Beskrev hur vi får E(g(X,Y)) och noterade att ett par intressanta fall är g(X,Y)=XY och g(X,Y)=X+Y. Tittade även på väntevärde för en godtycklig linjärkombination av n stokastiska variabler.

Införde C(X,Y)=kovariansen mellan X och Y som beroendemått där

C(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))=E(XY)-E(X)E(Y)

samt korrelationskoefficienten=C(X,Y)/(D(X)D(Y)). Visade att oberoende variabler är okorrelerade (dvs. har C(X,Y)=0), då E(XY)=E(X)E(Y) i detta fall, och gav ett exempel på att omvändningen inte gäller.

Följande räknelagar för väntevärden och varianser är viktiga:

• E[aX + b] = aE[X] + b
• V(aX + b) = V(aX) = a²V(X)
• E[X + Y] = E[X] + E[Y]
• V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2C(X,Y)

• E[XY] = E[X]E[Y].
• C(X,Y) = 0
• V(X + Y) = V(X) + V(Y)
• V(X - Y) = V(X) + V(Y) OBS! Plustecken!

Diskuterade även varians för godtycklig linjärkombination av n stokastiska variabler och noterade att denna innehöll termer motsvarande kovarianserna mellan de i linjärkombinationen ingående variablerna. I fallet då dessa variabler är oberoende blir dock kovarianstermerna noll och uttrycket för variansen övergår i en enkel summa av viktade varianser. Detta resultat tillämpades på medelvärdet av n oberoende stokastiska variabler, varpå det konstaterades att variansen avtog som 1/n. Tolkning: fördelningen för medelvärdet koncentreras alltmer kring väntevärdet när n går mot oändligheten. Detta resultat togs som utgångspunkt för en diskussion av Stora talens lag, vilken illustrerades med hjälp av upprepade tärningskast.

2017-11-09 Femte föreläsningen. Slides finns här.

Slutförde diskussionen om fördelning av funktion av kontinuerlig s.v. med att bestämma, via den generella metod som presenterades under förra föreläsningen, en formel för tätheten av Y = g(X) i fallet då g är strängt växande/avtagande samt deriverbar. Denna formel användes för att bestämma tätheten för Y=g(X)=1/X i fallet då X har Cauchy-fördelning, vilken visade sig vara samma som tätheten för X! (Detta gäller givetvis inte i allmänhet!)

Diskuterade läges- och spridningsmått och introducerade väntevärde E(X) och varians V(X) (samt den med variansen nära besläktade standardavvikelsen D(X)) för stokastiska variabler.

Formel att V(X)=E(X²)-(E(X))² (som brukar kallas Steiners regel inom mekaniken).

Kapitel 4 om flerdimensionella stokastiska variabler med särskild tonvikt på det viktiga fallet med oberoende variabler. Diskuterade vidare hur man i fallet med oberoende stokastiska variabler kan bestämma fördelningsfunktionerna för maximum och minimum, vilket under nästa föreläsning kommer att illustreras på ett exempel om hållfasthet hos en kedja. Notera att avsnittet 4.8 om betingad fördelning inte ingår i SF1901.

2017-11-07 Fjärde föreläsningen. Slides finns här.

Repeterade det viktiga begreppet stokastisk variabel. Diskuterade de vanligaste kontinuerliga fördelningarna (fördelningar med täthet), inkl. exponentialfördelning och normalfördelning. Minneslöshet hos exponentialfördelningen.

Begreppet fördelningsfunktion, dvs. F_X(x)=P(X≤x), som kan användas för att beräkna

P(a < X≤b)=F_X(b) - F_X(a).

För kontinuerlig fördelning gäller

F_X(b) - F_X(a)=P(a < X ≤ b)=P(a ≤ X ≤ b)=P(a < X < b)=P(a ≤ X < b),

eftersom P(X=x₀)=0 oavsett x₀.

Fördelningsfunktion är praktisk vid kalkyler. Samband mellan täthetsfunktion och fördelningsfunktion.

Visade hur man kan ta fram sannolikhetsfunktionen för en s.v. Y som är en funktion g(X) av en diskret s.v. X. Med ledning av detta exempel togs en generell metod fram, vilken även illustrerades i fallet för kontinuerlig fördelning med exemplet Y=X², dvs. exempel 3.21 på sidan 75. Lärdomen är framför allt att det krävs en kalkyl - man kan inte gissa svaret!

2017-11-02 Tredje föreläsningen. Slides finns här.

Repeterade begreppen betingad sannolikhet samt oberoende. Illustrerade åter Bayes formel genom att i exemplet med kontrollskrivningen räkna ut den betingade sannolikheten att en student som inte blev godkänd på sluttentamen inte deltog i kontrollskrivningen.

Begreppet stokastiska variabler (Kap. 3) introducerades. Det diskreta fallet exemplifierades med poängsumman av två tärningskast, där sannolikhetsfunktionen beräknades. Dessutom presenterades och diskuterades för-första-gången-fördelningen, binomialfördelningen (som exemplifierades med den icke fotbollsintresserade apan och stryktipset) och Poissonfördelningen. Poissonfördelning dyker upp som modell för t.ex. inloggningar till ett datasytem, antal telefonanrop, antal åskväder etc.

Vidare introducerades kontinuerlig fördelning (fördelning med täthet). Kontinuerlig fördelning kommer att diskuteras mer under nästa föreläsning.

2017-10-31 Andra föreläsningen

Slides:en från andra föreläsningen hittar ni här (samt i föreläsningsplanen).

Först presenterades lite om kombinatorik och vi redde ut, med hjälp av multiplikationsprincipen, fallen med dragning med återläggning med hänsyn till ordning, dragning utan återläggning med och utan hänsyn till ordning. Använde detta för att härleda sannolikheten att få k vita kulor då man ur en urna med v vita och s röda kulor drar n kulor utan återläggning (fallet med återläggning lämnas som övning!). Detta har kopplingar till Binomialfördelningen och Hypergeometriska fördelningen som presenteras i kapitel 3 och 7.

Begreppet betingad sannolikhet samt oberoende. Lagen om total sannolikhet samt Bayes' sats (som kan användas för att vända på betingning). Detta användes för att vända på betingning i exemplet med "tvåkronan".

Slutligen introducerades begreppet oberoende händelser, och det undersöktes huruvida några olika händelser är oberoende vid kast med två tärningar. Begreppet utvidgas till sist till fler än två händelser. Mer om detta nästa gång.

2017-10-30 Första föreläsningen

Kursen är nu igång och slides:en från första föreläsningen hittar ni här (samt i föreläsningsplanen).

Gav en hel del viktig kursinformation som alla studenter ombeds ta del av (se slides).

Allmän introduktion till ämnet matematisk statistik och dess tillämpningar.

Grundläggande terminologi. Slumpförsök, utfall, utfallsrum och händelse med exempel på diskreta och kontinuerliga utfallsrum. Speciellt användes exemplet "kast med tärning" och "åldrar hos slumpvis valt par".

Tolkning av mängder som händelser och mängdlärans operationer: komplement, union och snitt. De Morgans lagar. Omöjliga och oförenliga händelser.

Tolkning av sannolikhetsbegreppet som relativ frekvens. Relativa frekvensers stabilitet. Kolmogorovs axiomsystem och några satser som följer ur detta.

Klassisk sannolikhetsdefinition som är tillämplig då utfallen kan anses vara lika sannolika. Hade även tänkt prata lite om kombinatorik, dvs svaret på frågan "På hur många sätt kan man...." samt begreppen "Med/Utan återläggning" samt "Med/Utan hänsyn till ordning" (ordning spelar roll/ordning spelar ingen roll), enligt de två sista slides:en ovan. Detta kommer dock att diskuteras i samband övningarna samt under nästa föreläsning.

Kombinatorik kommer efter nästa föreläsning att inte spela avgörande någon roll i fortsättningen, men det anses tillhöra en kurs i statistik att t.ex. kunna räkna ut sannolikheten för 5 rätt och ett tilläggsnummer på Lotto.