\documentclass[12pt]{amsart} 
\usepackage[dvips]{graphics, color}
\theoremstyle{plain}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}

\theoremstyle{lemma}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\theoremstyle{exempel}
\newtheorem{exempel}[theorem]{Exempel}
\theoremstyle{corollary}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\theoremstyle{proposition}
\newtheorem{proposition}[theorem]{{Proposition}}
\theoremstyle{clam}
\newtheorem{clam}[theorem]{Claim}
\theoremstyle{conjecture}
\newtheorem{con}[theorem]{Conjecture}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{re}[theorem]{{Remark}}
\newtheorem{no}[theorem]{Notation}



\newtheorem{quest}[theorem]{Question}

\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}





\newtheorem{worning}[theorem]{{\rm W\sc orning}}

\newtheorem{para}[theorem]{}

\newtheorem{examp}[theorem]{Example}

\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}

\newcommand\pn[1]{{\mathbb P}^{#1}}
\newcommand\cal[1]{\mathcal {#1}}
\newcommand\cL{\mathcal L}
\newcommand\cZ{\mathcal Z}
\newcommand\cO[1]{\cal{O}_{\cal{{#1}}}}
\newcommand\X[1]{X^{[{#1}]}}
\newcommand\zed{{\mathbb Z}}
\newcommand\nat{{\mathbb N}}
\newcommand\rat{{\mathbb Q}}
\newcommand\real{{\mathbb R}}
%\newcommand\a{{\aa}}
\textwidth16cm
\textheight20cm
\oddsidemargin-0.3cm
\evensidemargin0.4cm
%\pagestyle{plain} 
\newtheorem{Definition}{\sf Definition}
\begin{document}
{\sf KTH Matematik}
\begin{center} 
 {\bf 5B1307, Linj\"ar algebra \\
Tentamen\\
Augusti, 2005 }
\end{center}

\vspace{.3in}

\begin{itemize}
\item {\it Till{\aa}tna hj\"alpmedel: Minir\"aknare med sifferdisplay.}
\item {\it Tentan best\aa r av tv{\aa} delar: del A och del B.}
\item {\it Del A ger, inklusive bonuspo\"ang, maximalt 16 po\"ang. \\ F\"or betyg 3,4,5  kr\"avs rispektive 16, 26, 35. }
\item {\it Motivering kr\"avs!}
\end{itemize}

\vspace{.2in}
\begin{center}
DEL  {\bf A}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item L\aa t $W\subset M_{3\times 3}(\real)$ vara delm\"angden av alla  matriser  $A=(a_{ij})$ med $$a_{2,3}=a_{3,2}=a_{3,3}=0.$$
\begin{enumerate}
\item (4p) Visa att W \"ar ett delrum till $M_{3\times 3}(\real).$
L\aa t $A,B\in W$ och $\alpha\in\real$. L\aa t $A+B=C=(c_{ij})$ och $\alpha A=D=(d_{ij})$. Eftersom $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ och $d_{ij}=\alpha a_{ij}$ \"ar $c_{2,3}=c_{3,2}=c_{3,3}=0$ och $d_{2,3}=d_{3,2}=d_{3,3}=0.$ Det visar att $C,D\in W.$
\item (4p) Best\"am $\dim(W).$
\[
A_1=\left[\begin{array}{ccc}
1&0&0 \\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right], A_2=\left[\begin{array}{ccc}
0&0&0 \\
0&1&0\\
0&0&0
\end{array}\right], A_3=\left[\begin{array}{ccc}
1&0&0 \\
0&0&0\\
0&0&1
\end{array}\right], A_4=\left[\begin{array}{ccc}
0&0&0 \\
1&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right],\]

\[A_5=\left[\begin{array}{ccc}
0&0&0 \\
0&0&0\\
1&0&0
\end{array}\right], A_6=\left[\begin{array}{ccc}
0&0&0 \\
0&0&0\\
0&1&0
\end{array}\right].  \]
Utg�r en bas till W. Faktiskt alla elementen i W kan skrivas som en linj�r kombination av $A_1,...,A_6$ och de \"ar linj�rt oberoende.

Det visar att $\dim(W)=6.$
\end{enumerate}
\vspace{.2in}

\item  L\aa t $A,B\in M_{2\times 2}(\real)$. Sp\aa ret av matrisen $A=(a_{i,j})\in M_{2\times 2}(\real)$ defineras som $tr(A)=a_{1,1}+a_{2,2}$. Den transponerad matrisen av $A$ defineras som $A^T=(b_{i,j})$ d\"ar 
$b_{i,j}=a_{j,i}.$ L\aa t \[
A=\left[\begin{array}{cc}
1&0 \\
1&0
\end{array}\right]\]

Betrakta avbildningen 
$$T :                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              M_{2\times 2}(\real)\to \real $$ som till en matris $B$ utpekar  $T(B)=tr(A\cdot B^T).$ 
\begin{enumerate}
\item (4p) Visa att $T$ \"ar en linj\"ar avbildning.
Notera att om $B=(b_{ij})$ d\aa \"ar 
\[
T(B)=tr\left(\left[\begin{array}{cc}
b_{11}&b_{21} \\
b_{11}&b_{21}
\end{array}\right]\right)=b_{11}+b_{21}\]
Eftersom definieras det som en addition i $\real$ \"ar det en linj\"ar avbildning.

\item (3p) Skriv matrisen $[T]_{\beta}^{\alpha}$ med avseende p{\aa}  n\aa gon bas $\beta$ f\"or $M_{2\times 2}(\real)\to \real$ och  n\aa gon bas $\alpha$ f\"or $\real.$

F\"or $M_{2\times 2}(\real)\to \real $ kan vi ta basen $\beta:$
 \[
A_1=\left[\begin{array}{ccc}
1&0 \\
0&0
\end{array}\right], A_2=\left[\begin{array}{ccc}
0&1\\
0&0
\end{array}\right],
A_3=\left[\begin{array}{ccc}
0&0\\
1&0
\end{array}\right], A_4=\left[\begin{array}{ccc}
0&0\\
0&1
\end{array}\right] \]
och f\"or $\real$ tar vi basen $\alpha=1.$ Matrisen blir:
\[
[T]_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{cccc}
1&0&1&0
\end{array}\right]\]
\item (4p) Best\"am $\dim(N(T))$.

$T(B)=tr(B)=0$ ger $b_{12}=-b_{21}$. Det F�ljer att
\[
N(T)\subset Z=\{\left[\begin{array}{ccc}
b_{11}&b_{12} \\
-b_{12}&b_{22} 
\end{array}\right]\}\]
Dessutom har vi $T(B)=0$ f\"or alla $B\in Z$. Det visar att $N(T)=Z$.
\[ B_1=\left[\begin{array}{cc}
1&0 \\
0&0
\end{array}\right], B_2=\left[\begin{array}{cc}
0&1\\
-1&0
\end{array}\right],
B_3=\left[\begin{array}{cc}
0&0\\
0&1
\end{array}\right] \]
utg\"or en bas till $Z$, Det visar att $\dim(N(T))=3.$
\item (3p) Best\"am $\dim(R(T))$.
Eftersom $T$ \"ar linj\"ar g\"aller att:
$$4=\dim(M_{2\times 2}(\real))=\dim(N(T))+\dim(R(T)).$$
Det visar att $\dim(R(T))=1.$
\vspace{.2in}
\end{enumerate} 
\vspace{.2in}
\item (7p)Visa att
$$<A,B>=tr(A\cdot B^T)\;\;\text{ f\"or alla }A,B\in M_{2\times 2}(\real)$$
definierar en inne-produkt p{\aa}  $M_{2\times 2}(\real).$
 
L\aa t $A=(a_{ij}), B=(b_{ij}). C=(c_{ij})\in  M_{2\times 2}(\real),$ och $\lambda\in\real.$
\begin{enumerate}
\item $<A,B>=tr(A\cdot B^T)=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22}=\\
=tr(B\cdot A^T)=<B,A>.$
\item $<A+B,C>=(a_{11}+b_{11})c_{11}+(a_{12}+b_{12})c_{12}+(a_{21}+b_{21})c_{21}+(a_{22}+b_{22})c_{22}=\\
=a_{11}c_{11}+a_{12}c_{12}+a_{21}c_{21}+a_{22}c_{22}+b_{11}c_{11}+b_{12}c_{12}+b_{21}c_{21}+b_{22}c_{22}=\\
=<A,C>+<B,C>.$
\item $<\lambda A,B>=\lambda a_{11}b_{11}+\lambda a_{12}b_{12}+\lambda a_{21}b_{21}+\lambda a_{22}b_{22}=\lambda(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22})=\lambda<A,B>.$
\item $<A,A>=a_{11}^2+a_{12}^2+a_{21}^2+a_{22}^2=0$ om och endast om $a_{11}=a_{12}=a_{21}=a_{22}=0,$ dvs $A=0.$

\end{enumerate}


\end{enumerate}
\begin{center}
\newpage
DEL  {\bf B}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item L\aa t ${\cal F}(\real)$ vara vektorrummet av funktioner fr\aa n $\real$ till $\real$. L\aa t $$H=Span(\cos(t), \sin(t), t\cos(t),t\sin(t)).$$
\begin{enumerate}
\item (5p) Visa att $\dim(H)=4.$

Man ska bara visa att $(cos(t), sin(t), tcos(t),tsin(t))$ \"ar linj\"art oberoende. Antar att f\"or varje $t\in\real$ \"ar
$$acos(t)+bsin(t)+ctcos(t)+dtsin(t)=0$$
f\"or n{\aa}gra $a,b,c,d\in\real$.
\begin{itemize}
\item $t=0\text{  ger } a=0$
\item $t=\frac{\pi}{2}\text{  ger } b+\frac{\pi}{2}d=0$
\item $t=\pi \text{  ger } -a-c\pi=0$
\item $t=-\frac{\pi}{2}\text{  ger } -b+\frac{\pi}{2}d=0$
\end{itemize}
Det f\"oljer att $a=b=c=d=0$, d.v.s. de \"ar linj\"art oberoende.
\item (5p) L\aa t $T: H\to H$ vara avbildningen $T(f(t))=f^{\prime\prime}(t)+f(t).$ 
Visa att $T$ \"ar linj\"ar och best\"am delrummet $N(T).$

T \"ar lin\"ar eftersom $f$ och $f^{\prime}$ \"ar linj\"ara.
L\aa t $\beta=(cos(t), sin(t), tcos(t),tsin(t))$,
\[ [T]_{\beta}=\left ( \begin{array}{cccc}
0&0&0&2\\
0&0&-2&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0
\end{array}\right )\]
S{\aa} $T(acos(t)+bsin(t)+ctcos(t)+dtsin(t))=-2dcos(t)+2csin(t).$
Det betyder att $N(T)=Span(cos(t),sin(t)).$

\item(5p) \"Ar $\cos(t)\in R(T)?$

Vi ser att $R(T)=Span(cos(t),sin(t))$ och d{\aa} \"ar $cos(t)\in R(T).$

\end{enumerate}
\vspace{.2in}


\item (10 pt) L\aa t $U\subset\real^n$ vara ett delrum och l\aa t $x\in\real^n$.  Visa att $x\in U$ om och endast om $proj_U(x)=x.$

Varje vektor $x\in\real^n$ kan skrivas, p� ett entydigt s\"att som:
$$x=proj_U(x)+y$$
d\"ar \"ar $y\in U^{\perp}.$ 
Om $x\in U$ d{\aa} \"ar $x=x+0$, som betyder att $proj_U(x)=x.$
Om \"ar $proj_U(x)=x,$ d{\aa} \"ar naturligtvis $x\in U.$


\vspace{.2in}
\item (10 pt) L\aa t $A\in M_{n,n}$ vara  inverterbar. Visa att raderna  utg\"or en bas till $\real^n.$
\vspace{.2in}
Raderna utg\"or en bas till $R(A)$. Om $A$ \"ar invererbar d{\aa} \"ar $R(A)=\real^n.$

\end{enumerate}

\end{document}
DEL  {\bf B}
\end{center}
\vspace{.2in}
\begin{enumerate}
\item L\aa t ${\cal F}(\real)$ vara vektorrummet av funktioner fr\aa n $\real$ till $\real$. L\aa t $$H=Span(\cos(t), \sin(t), t\cos(t),t\sin(t)).$$
\begin{enumerate}
\item (5p) Visa att $\dim(H)=4.$
\item (5p) L\aa t $T: H\to H$ vara avbildningen $T(f(t))=f^{\prime\prime}(t)+f(t).$ 
Visa att $T$ \"ar linj\"ar och best\"am delrummet $N(T).$
\item(5p) \"Ar $\cos(t)\in R(T)?$
\end{enumerate}
\vspace{.2in}

\item (10 pt) L\aa t $f_1,...,f_n\in P_{n-1}(\real)$ vara linj\"art oberoende och $a_1\neq a_2\neq...\neq a_n\in\real$. L\aa t $A$ vara  $n\times n$ matrisen $A=(a_{ij})=(f_j(a_i))$ och $L_A:\real^n\to\real^n$ vara den linj\"ara avbildningen som $A$ definierar. Visa att $L_A$ \"ar inverterbar.
\vspace{.2in}

\item (12 pt) L\aa t $P_n(\real)$  vara vektorrummet med inreprodukten definerad i (3) av Del A. Ett polynom $p(t)\in P_n(\real)$ kallas ett {\it udda polynom} om $p(-t)=-p(t)$ och ett {\it j\"amnt polynom} om $p(-t)=p(t)$. L\aa t $O$ vara delm\"angden av alla udda polynom och $E$ vara delm\"angden av alla  j\"amna polynom.  
\begin{enumerate}
\item Visa att $E,O$ \"ar delrum och best\"am $\dim(O)$ och $\dim(E)$. 
\item Visa att $P_n(\real)=O+E$ och $O\cap E=\{0\}.$
\item Visa att $E=O^{\perp}$ och $O=E^{\perp}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}