Matematik | KTH |

5B1136 Matematik II för I1, 6 p, 2006-2007

Tentamenskrivning tisdagen den 13 mars samt torsdagen den 7 juni

Nedanstående är en lista över de begrepp och satser som ingår i kursen. Dessa är ett verktyg för att kunna modellera och lösa de problem som kommer på tentamen.

LINJÄR ALGEBRA

Linjära ekvationssystem

Gauss-Jordans metod (avsnitt 1.3);
de tre lösningsfallen: en unik, oändligt många (parameterlösning), inga alls;
linjära ekvationssystem på matrisform (avsnitt 1.2)

Vektorer i R² och R³

Addition, multiplikation med skalär, belopp, triangelolikhet (Sats 2.1);
koordinatsystem (Def 2.3-2.4);
skalärprodukt, vinkelrät projektion (Definition 2.5, Sats 2.3 [1-5], Def 2.6-2.7);
vektorprodukt, dess belopp som parallellogramarea (Def 2.9, Sats 2.5 [1-3,6], Sats 2.7);
trippelprodukt, dess belopp som en parallellepipeds volym (Def 2.12, Sats 2.9-2.10)

Räta linjer och plan i R² och R³

Linjens ekvation på parameter- och normalvektorform (Ekv. (3.2-3.3), Sats 3.1);
planets ekvation (Sats 3.3);
avstånd från punkt till rät linje och plan (Sats 3.2, mittstycket på s. 91, Sats 3.4)

Vektorer i Rⁿ

Addition, multiplikation med skalär, skalärprodukt, geometriska begrepp och triangelolikhet (Definition 4.1-4.3, Sats 4.1-4.3);
linjär kombination, linjärt oberoende/beorende, bas (Definition 4.5-4.7, sats 4.4-4.6)

Linjära avbildningar

Linjär avbildning från Rⁿ till R^m (Def 3.1);
avbildningsmatris vars kolonner är bilder av basvektorerna (Definition 3.2);
känna till/tolka de linjära avbildningarna: spegling (Exempel 3.10-3.11, Ex 3.17), vridning (Ex 3.12, 3.21-3.22), likformighet (Ex 3.13), projektion (Ex 3.15, Ex 3.18);
sammansättning av avbildningar och matrismultiplikation (Def 3.3, Sats 3.5)

Matriser

Matrisstorlek, plats ij är i-te raden och j-te kolonnen, addition, multiplikation med skalär, transponat, matrismultiplikation, identits- och nollmatris, regler för matrisräkning (Def 5.1-5.4, Ekv (5.7), s. 151, Sats 5.1), matrisinvers (Sats 5.7, Exempel 6.7, Exempel 5.13, 5.9-10)

Determinant

Definition och regler för uträkning (Def. 6.1, Sats 6.6), utveckling efter rad/kolonn (avsnitt 6.4), determinant som area-/volymförändring efter en linjär avbildning (avsnitt 3.3), Sats 6.3

Koordinatbyten - transformationer

definition (Def 7.1, Sats 7.3) och egenskaper (Sats 7.1)

byten av ON-baser (Sats 7.2, Def 7.2)

avbildningsmatriser i olika baser (avsnitt 7.2.3, speciellt Sats 7.4)

Diagonalisering

diagonaliseringsproblemet (andra stycket i avsnitt 7.3.1)

stegen i algoritmen:

hitta egenvärdena till matrisen A (Def 7.3)

hitta motsvarande egenvektorer (Def 7.3)

bilda basbytesmatrisen C sådan att C^-1AC är diagonal

diagonalisering med respektive basbyte är inte entydig (sista stycket i Ex 7.12)

sätten att avgöra om matrisen är diagonaliserbar:

A är symmetrisk (avsnitt 7.3.3, speciellt spektralsatsen 7.8) med ON-basbyte

A har n olika egenvärden (Sats 7.6)

A har n linjärt oberoende egenvektorer

exempel på matriser som inte är diagonaliserbara (Ex 7.11, rotationer)

Tillämpningar av diagonalisering

potenser av matriser (Ex 7.14)

hitta avbildningsmatriser (Ex 7.8)

basbyte för klassificering av andragradskurva (Sats 8.3): ellips, hyperbel, parabel

FLERVARIABELANALYS

Mängder i Rⁿ (avsnitt 1.3)

inre/yttre och randpunkt (Def. 1), öppen/sluten/begränd/kompakt mängd (Def 2-4)

Reellvärda funktion f: Rⁿ -> R (avsnitt 1.4.1-1.4.2, 1.5, 1.6)

nivåkurvor och -ytor för n=2 och n=3, gränsvärden och kontinuitet (Def 5, regler (8)-(12), Exempel 24-27), polära koordinater (Exempel 21 i avsnitt 1.4.6)

Differentialkalkyl för reellvärda funktioner

Definition och beteckningar (avsnitt 2.1 utom Exempel 4-5), differentierbarhet (Def 2, Sats 1-3, Exempel 8), tangentplan (Exempel 7)

Gradient och riktningsderivata (avsnitt 2.4)

Definition och beteckningar (hela texten tom Exempel 20), gradientens tolkning som riktningen där funktionen ändras snabbast (Sats 7, Exempel 21) och tangenten till en nivåkurva/-yta (Sats 8, Exempel 22-24)

Kedjeregeln och derivator av högre ordning

Den allmänna kedjeregeln (avsnitt 2.3), beteckningar och egenskaper (texten i avsnitt 2.5 tom Sats 9), variabelbyte/kedjeregeln för högre derivator (Exempel 27-28 i 2.5)

Lokala undersökningar (avsnitt 2.6)

Taylors formel (Sats 10, Exempel 29-31), lokala extrempunkter (texten from Def 7 tom Exempel 39)

Parametriserade kurvor och ytor (avsnitt 1.4.4-6 och 3.1.1)

definition, tangentvektor [= derivata] till tangenten i en punkt (ekvationer (1) - (3) )

hastighet, fart, acceleration för beskrivning av partikelrörelse
längden av en parametriserad kurva (Exempel 3, ekvation (4))

Parametriserade ytor (avsnitt 3.1.2)

definition
normalvektor [partiella derivatornas kryssprodukt] till tangentplanet i en punkt

Funktionaler

funktionalmatris = derivata av f och dess beteckningar (avsnitt 3.2, texten tom Ex 7)
linjarisering (avsnitt 3.2, texten tom Ex 8)
kedjeregeln (motsvarande avsnitt i 3.2 tom Ex 12)
funktionaldeterminanten = Jacobian och dess beteckningar (avsnitt 3.3 framtill Ex 15)
specialfallen på reellvärda funktioner och parametriserad kurvor överensstämmer med definitionerna ovan

Implicit givna funktioner

inversa funktionssatsen (avsnitt 3.3, Sats 2) och dess tillämpning för n=2 och n=3
implicita funktionssatsen (ansvitt 3.4, Sats 3) och dess tillämpning

konkreta tillämpningar (Exempel 16, 18)

OPTIMERING

Optimering på kompakta mängder (avsnitt 4.1):

1) bestämning av alla stationära inre punkter på det kompakta definitionsområdet,
2) bestämning av funktionens största/minsta värden på rander av definitionsområdet,
3) välj ut det största/minsta funktionsvärdet på punkterna fårn 1) och 2)

Optimering på icke-kompakta mängder (avsnitt 4.2)

Exempel 4-6

Minstakvadratmetoden

Optimering med ett bivillkor (hela delavsnittet "Ett bivillkor" i avsnitt 4.3)