3.GRV              Gränsvärden

Vecka 37-38

Lappskrivning 19/9 13.15-14.00


Innehåll:

Kap. 2 Gränsvärden.


  • 2.1.Gränsvärdesdefinitioner och oegentliga gränsvärden.

  • 2.2 Kontinuerliga funktioner..

I detta avsnitt definieras de tre viktiga gränsvärdestyperna:
  • (3.1) Gränsvärde av en funktion av en reell variabel.
    Observera att kursboken har en speciell gränsvärdesdefinition för fallet x -> a. (I tidigare kurser formulerades definitionen ... 0 < |x-a| < delta ..., istället för som i boken |x-a| < delta)

  • (3.2) Gränsvärde av en talföljd ( där talföljden kan ses som en funktion av variabeln n, som varierar över de naturliga talen.,

  • (3.3) Summan av en oändlig serie som kan ses som gränsvärdet av en talföljd.

  • En funktion f (av en reell variabel x ) är kontinuerlig i x=a om funktionsvärdet f(a) är lika med gränsvärdet för f(x) då x-> a.
    Detta är ett sätt att uttrycka att f:s graf är sammanhängande i x=a.

  • 2.1 Räkneregler för gränsvärden.

  • 2.3 Talet e..

  • 2.4 Standardgränsvärden.
Utifrån definitionen av gränsvärden kan man härleda ett antal räkneregler som underlättar bestämningen av gränsvärden.
  • Vissa gränsvärdesberäkningar kan förenklas med hjälp av algebraiska omskrivningar.
    (3.4) Exempel visar hur en differens mellan kvadratrötter kan hanteras.
  • I övrigt använder man sig av
    (3.5) standardgränsvärden som tillsammans med räknereglerna kan användas att bestämma gränsvärden.
  • Av räknereglerna är särskilt (3.6a) Instängningsprincipen användbar.
    (3.6b) Exempel på instängningsprincipen.
Observera att ovanstående metoder är tillämpbara både på talföljder och funktioner av en reell variabel. I det senare fallet oavsett om variabeln x går mot oändligheten eller något ändligt värde.

  • Beräkning av gränsvärden (forts.)

  • 2.2 Egenskaper hos kontinuerliga funktioner.
  • Frågan om en viss funktion f är kontinuerlig i x=a är egentligen ett gränsvärdesproblem, eftersom frågan gäller om funktionsvärdet f(a) är lika med f:s gränsvärde då x->a.

  • 2.2 innehåller ett avsnitt om egenskaper hos kontinuerliga funktioner (som tillämpas i derivatamodulen 4.DER),
    bl.a. att kontinuerliga funktioner på slutna intervall antar ett största och ett minsta värde.