\documentclass[12pt]{amsart} 
\usepackage[dvips]{graphics, color}
\theoremstyle{plain}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}

\theoremstyle{lemma}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\theoremstyle{exempel}
\newtheorem{exempel}[theorem]{Exempel}
\theoremstyle{corollary}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\theoremstyle{proposition}
\newtheorem{proposition}[theorem]{{Proposition}}
\theoremstyle{clam}
\newtheorem{clam}[theorem]{Claim}
\theoremstyle{conjecture}
\newtheorem{con}[theorem]{Conjecture}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{re}[theorem]{{Remark}}
\newtheorem{no}[theorem]{Notation}



\newtheorem{quest}[theorem]{Question}

\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}





\newtheorem{worning}[theorem]{{\rm W\sc orning}}

\newtheorem{para}[theorem]{}

\newtheorem{examp}[theorem]{Example}

\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}

\newcommand\pn[1]{{\mathbb P}^{#1}}
\newcommand\cal[1]{\mathcal {#1}}
\newcommand\cL{\mathcal L}
\newcommand\cZ{\mathcal Z}
\newcommand\cO[1]{\cal{O}_{\cal{{#1}}}}
\newcommand\X[1]{X^{[{#1}]}}
\newcommand\zed{{\mathbb Z}}
\newcommand\nat{{\mathbb N}}
\newcommand\rat{{\mathbb Q}}
\newcommand\real{{\mathbb R}}
%\newcommand\a{{\aa}}
\textwidth15cm
%\textheight20cm
\oddsidemargin-0.3cm
\evensidemargin0.4cm
%\pagestyle{plain} 
\newtheorem{Definition}{\sf Definition}

\title{Lektion 04-28}

\begin{document}
\maketitle
Betrackta grupper $(\zed_6,+)$ och $(\zed_7^*, \cdot)$. de \"ar tv{\aa} grupper med $6$ element. Man kan rita upp grupptabellerna:(pg  24)

D{\aa} ser man att man kan bilda en bijektion: $\zed_6\to\zed_7^*$ genom:
$$[0]\to[1], [1]\to[3],[2]\to[2], [3]\to[6], [4]\to [4], [5]\to[5]$$ 

Tabellen av v\"ardelement ser ut precis som  tabellen av $(\zed_6,+)$.

Vi säger att grupper är isomorfa.
\begin{definition}
Tv{\aa} grupper $(G_1,*), (G_2,\circ)$ \"ar isomorfa om det finns en bijektion:
$$\phi:G_1\to G_2$$
så att $\phi(g_1 * g_2)=\phi(g_1)\circ \phi(g_2)$ f\"or varje $g_1,g_2\in G_1$
\end{definition}
\noindent{\it Exempel}
 L\aa t $(G_1,*), (G_2,\circ)$ vara tv{\aa} isomorfa grupper, genom isomorfi $\phi$.
\begin{itemize}
\item L\aa t $0\in G_1$ vara det noll=elent i $G_1$ och $1\in G_2$ vara det noll=elent i $G_2$. Visa att $\phi(0)=1$

L\aa t $g\in G_1$. Vi vet att:
$$\phi(0*g)=\phi(0)\circ\phi(g)\text{ och }\phi(0*g)=\phi(g)$$
Det f\"oljer att $\phi(0)\circ\phi(g)=\phi(g)=1\circ\phi(g)$ och 
$$(\phi(0)\circ\phi(g))\circ \phi(g)^{-1}=(1\circ\phi(g))\circ \phi(g)^{-1}$$
Enligd (G1)+(G2) har vi
$$\phi(0)\circ(\phi(g)\circ \phi(g)^{-1})=1\circ(\phi(g))\circ \phi(g)^{-1})$$
$$\phi(0)\circ 1=\phi(0)=1\circ 1=1$$
\item L\aa t $-g$ vara inverelement till $g\in G_1$ och $h^{-1}$ vara inverelemnt av $h\in G_2$. Visa att $\phi(-g)=\phi(g)^{-1}$.

Vi ska visa att $\phi(-g)\circ \phi(g)=1$. Det \"ar sant eftersom
$$ \phi(-g)\circ \phi(g)=\phi(g*(-g))=\phi(0)=1$$
\end{itemize}

\begin{definition}
En {\it ring} best\aa r av $(R, +, \cdot )$ d\"ar 
\begin{itemize}
\item $R$ \"ar en m\"angd
\item $+,\cdot$ \"ar tv{aa} bin\"ara operationer s{\aa} att:
\begin{itemize}
\item $(R,+)$ \"ae en abelsk grupp.
\item $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
\item $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ och $(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{definition}
\noindent{\it Exempel} \begin{itemize} 
\item $(\zed, +,\cdot)$ \"ar en ring.
\item $(\zed_n, +,\cdot)$ \"ar en ring.
\end{itemize}
\begin{definition}
En {\it kropp} best\aa r av $(F, +, \cdot )$ d\"ar 
\begin{itemize}
\item $F$ \"ar en m\"angd
\item $+,\cdot$ \"ar tv{aa} bin\"ara operationer s{\aa} att:
\begin{itemize}
\item $(F,+)$ \"ae en abelsk grupp. L\aa t $0$ vara det nollelement.
\item $(F\setminus\{0\},\cdot)$ \"ar en abelsk grupp
\item $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ och $(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{definition}

\noindent{\it Exempel} F\"or every primtal $p$ \"ar $(\zed_p,+,\cdot)$ en kropp.

Permutationer kan l\"asas i boken: pg 97-116.
\end{document}