LEKTION 04-28

Betrackta grupper (ℤ_{6}, +) och (ℤ_{7}^{∗}, ·). de är två grupper med 6 element. Man kan rita upp grupptabellerna:(pg 24)

Då ser man att man kan bilda en bijektion: ℤ_{6} → ℤ_{7}^{∗} genom:

[0] → [1], [1] → [3], [2] → [2], [3] → [6], [4] → [4], [5] → [5]

Tabellen av värdelement ser ut precis som tabellen av (ℤ_{6}, +).

Vi sger att grupper r isomorfa.

Definition 0.1. Två grupper (G_{1}, ∗), (G_{2}, ∘) är isomorfa om det finns en bijektion:

ϕ : G_{1} → G_{2}

s att ϕ(g_{1} ∗ g_{2}) = ϕ(g_{1}) ∘ ϕ(g_{2}) för varje g_{1}, g_{2} ∈ G_{1}

Exempel Låt (G_{1}, ∗), (G_{2}, ∘) vara två isomorfa grupper, genom isomorfi ϕ.

• Låt 0 ∈ G_{1} vara det noll=elent i G_{1} och 1 ∈ G_{2} vara det noll=elent i G_{2}.

Visa att ϕ(0) = 1 Låt g ∈ G_{1}. Vi vet att:

ϕ(0 ∗ g) = ϕ(0) ∘ ϕ(g) och ϕ(0 ∗ g) = ϕ(g)

Det följer att ϕ(0) ∘ ϕ(g) = ϕ(g) = 1 ∘ ϕ(g) och

(ϕ(0) ∘ ϕ(g)) ∘ ϕ(g)^{−1} = (1 ∘ ϕ(g)) ∘ ϕ(g)^{−1}

Enligd (G1)+(G2) har vi

ϕ(0) ∘ (ϕ(g) ∘ ϕ(g)^{−1}) = 1 ∘ (ϕ(g)) ∘ ϕ(g)^{−1})
ϕ(0) ∘ 1 = ϕ(0) = 1 ∘ 1 = 1

• Låt −g vara inverelement till g ∈ G_{1} och h^{−1} vara inverelemnt av h ∈ G_{2}.

Visa att ϕ(−g) = ϕ(g)^{−1}.

Vi ska visa att ϕ(−g) ∘ ϕ(g) = 1. Det är sant eftersom

ϕ(−g) ∘ ϕ(g) = ϕ(g ∗ (−g)) = ϕ(0) = 1

Definition 0.2. En ring består av (R, +, ·) där • R är en mängd

• +, · är tvaa binära operationer så att: – (R, +) äe en abelsk grupp.

– (a · b) · c = a · (b · c)

– a · (b + c) = a · b + a · c och (b + c) · a = b · a + c · a.

Exempel • (ℤ, +, ·) är en ring.

• (ℤ_{n}, +, ·) är en ring.

Definition 0.3. En kropp består av (F, +, ·) där • F är en mängd

• +, · är tvaa binära operationer så att: – (F, +) äe en abelsk grupp. Låt 0 vara det nollelement.

– (F \ {0}, ·) är en abelsk grupp

– a · (b + c) = a · b + a · c och (b + c) · a = b · a + c · a.

Exempel För every primtal p är (ℤ_{p}, +, ·) en kropp. Permutationer kan läsas i boken: pg 97-116.