\documentclass[12pt]{amsart} 
\usepackage[dvips]{graphics, color}
\theoremstyle{plain}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}

\theoremstyle{lemma}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\theoremstyle{exempel}
\newtheorem{exempel}[theorem]{Exempel}
\theoremstyle{corollary}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\theoremstyle{proposition}
\newtheorem{proposition}[theorem]{{Proposition}}
\theoremstyle{clam}
\newtheorem{clam}[theorem]{Claim}
\theoremstyle{conjecture}
\newtheorem{con}[theorem]{Conjecture}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{re}[theorem]{{Remark}}
\newtheorem{no}[theorem]{Notation}



\newtheorem{quest}[theorem]{Question}

\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}





\newtheorem{worning}[theorem]{{\rm W\sc orning}}

\newtheorem{para}[theorem]{}

\newtheorem{examp}[theorem]{Example}

\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}

\newcommand\pn[1]{{\mathbb P}^{#1}}
\newcommand\cal[1]{\mathcal {#1}}
\newcommand\cL{\mathcal L}
\newcommand\cZ{\mathcal Z}
\newcommand\cO[1]{\cal{O}_{\cal{{#1}}}}
\newcommand\X[1]{X^{[{#1}]}}
\newcommand\zed{{\mathbb Z}}
\newcommand\nat{{\mathbb N}}
\newcommand\rat{{\mathbb Q}}
\newcommand\real{{\mathbb R}}
%\newcommand\a{{\aa}}
\textwidth15cm
%\textheight20cm
\oddsidemargin-0.3cm
\evensidemargin0.4cm
%\pagestyle{plain} 
\newtheorem{Definition}{\sf Definition}

\title{Lektion 04-26}

\begin{document}
\maketitle

Idag definierar vi n\aa gra algebraiska strukturen: Grupper, Ringer och kropp.

De alla best\aa r av en m\"angd med en {\it bin\"ara operation} som motsvarar n\aa gra egenskaper.

\begin{definition}
L\aa t $A$ vara en m\"angd. En bin\"ar operation $*$ p{\aa} $A$ \"er en funktion:
$$ *: A\times A\to A$$
\end{definition}



\noindent{\it Exempel}:\begin{itemize}
\item $+, \cdot : \zed\times \zed\to \zed$.
\item L\aa t $M_k(\real)$ vara m\"angden av $n\times n$ matriser med reella koefficienter. Matris multiplikationen definierar en bin\"ara operation.
$$\cdot: M_k(\real)\times  M_k(\real)\to  M_k(\real)$$
\item Additionen och multiplikationen  modulo $n$ definierar bin\"ara operationer p{\aa} $\zed_n$.
$$+,.:\zed_n\times\zed_n\to \zed_n$$
\item Divisionen INTE definierar en bin\"ar operation p{\aa} $\zed$.
\item L\aa t $S(A)=\{f:A\to A \text{ s{\aa} att }f\text{ \"ar surjektiv}\}$. Sammans\"attning
$$\circ: S(A)\times S(A)\to S(A)$$
definierar en bin\"ar operation. Vi ska visa att $\circ$ definiera en bin\"ar operation p{\aa} $S(A)$, dvs att sammans\"attning av tv{\aa} surjektiva funktioner \"ar surjektiva. L\aa t $f,g$ vara tv{\aa} surjektiva funktioner och betrakta $a\in A$. Vi ska visa att det finns $b\in A$ s{\aa} att $f(g(b))=a$. Eftersom $f,g$ \"ar surjektiva finns det $c\in A$ s{\aa} att $a=f(c)$ och $b\in A$ s{\aa} att $c=g(b)$.

Det f\"oljer att $\circ$ definierar en bin\"ar operation p{\aa} $S(A)$.
\end{itemize}
\begin{definition}
En {\it grupp} definieras som ett par $(G,*)$ d\"ar $G$ \"ar en m\"angd och $*$ \"ar en bin\"ar operation med f\"oljande tre egenskaper:
\begin{itemize}
\item[(G1)] Operationen \"ar {\bf associativ}:
$$ (a*b)*c=a*(b*c)\text{ for varje }a,b,c\in G$$
\item[(G2)] Det finns ett {\bf noll} element:
$$\text{ det finns ett element }0\in G\text{ s{\aa} att }0*g=g*0=g\text{ for varje }g\in G$$
\item[(G3)] varje element har en {\bf invers}:
$$\text{for varje element }g\in G\text{ det finns ett element }g'\in G\text{ s{\aa} att }g*g'=g'*g=0$$
\end{itemize}
\end{definition}

\noindent{\it Exempel}:\begin{itemize}
\item $(\zed,+)$ \"ar en grupp. $(\zed,\cdot)$ INTE \"ar en grupp. L\aa t $\rat^*=\rat\setminus\{0\}$, d{\aa} \"ar $(\rat^*,\cdot)$  en grupp. \"Ar $(\zed^+,+)$ en grupp?
\item $(M_k(\real),\cdot)$ \"ar en grupp. Noll elementet \"ar den identitet matrisen, $I_n$, och inversen av en matris, $M$, \"ar den inversmatris $M^{-1}$.
\item $(\zed_n,+)$ \"ar en grupp. Noll element \"ar klassen $[0]$ och invers av element $[x]$ \"ar klassen $[n-x]$. 

Betrakta nu $\zed_n$ med multiplikationen. \"Ar den en grupp?
Man kan hytta en nollelement, n\"amlingen $[1]$. Men man kan hytta en invers bara till inverterbara element, d.v.s $[a]\in\zed_n$ d\"ar $gcd(a,n)=1$. 

Man ser att alla element blir inverterbara n\"ar $n$ \"ar ett primtal. Dessutom vi ska ta borta element $[0]$, den har ingen invers. L\aa t $\zed_p^*=\zed_p\setminus\{0\}$, d{\aa} \"ar  $(\zed_p^*,\cdot)$ en grupp f\"or varje primtal $p$.

\item Betrakta m\"angden $S(A)$ med den sammans\"attning operationen.
(G1) g\"aller. Identitet funktionen $id_A$ \"ar en noll-element, d{\aa} g\"aller (G2). Finns det en inversfunktion till alla funktioner?

Vi har tidigare visat att bara injektiva funktioner har en invers.
Det betyder att $(S(A),\circ)$ \"ar inte en grupp.

Kan vi definiera en grupp genom att betrakta en delm\"angd av $F(A)$?

L\aa t $B(A)=\{f:A\to A\text{ s{\aa} att }f\text{ \"ar bijektiv} \}$. \"Ar $\circ$ en bin\"ar operation p{\aa} $I(A)$? Vi ska visa att sammans\"attningen at tv{\aa} injektiva funktioner \"ar fortforande injektiv. Anta att $f,g$ \"ar injektiva och att $f\circ g(a)=f\circ g (b)$. Det betyder att $f(g(a))=f(g(b))$ och d{\aa}, eftersom f \"ar injektiv, $g(a)=g(b)$. Men $g$ \"ar ocks{\aa} injektiv s{\aa} att $a=g$.

Det f\"oljer att $(B(A),\circ)$ \"ar en grupp.
\end{itemize}

\begin{definition}En grupp $(G,*)$ kallas en {\it abelska grupp} om operationen \"ar kommutativ, dvs
$$\text{(G4) }a*b=b*a\text{ f\"or alla }a,b\in G$$

\end{definition}

\noindent{\it Exempel. } \begin{itemize}
 \item $(\zed,+) ,(\rat^*,\cdot)$ \"ar abelska grupper.
\item $(M_k(\real),\cdot)$ INTE \"ar en abelsk grupp.
\item $(\zed_n,+)$ \"ar en abelsk grupp. 
\end{itemize}
Vi ska nu definiera vad betyder att en grupp $H$ kan t\"ankas som en delgrupp av en grupp $G$.
\begin{definition}L\aa t $(G,*)$ vara en grupp. En {\it delgrupp} av $G$ best\aa r av ett par $(H,*)$ d\"ar:
\begin{itemize}
\item $H\subseteq G$ \"ar en delm\"angd.
\item Operationen $*$ \"ar ``sluten'' p{\aa} $H$ :
$$ *:H\times H\to H\text{, dvs att }h_1*h_2\in H\text{ f\"or varje }h_1,h_2\in H$$och $(H,*)$ \"ar en grupp
\end{itemize}
\end{definition}
\noindent{\it Exempel}\begin{itemize}
\item $(\rat_+,\cdot)$ \"ar en delgrupp till $(\rat^*,\cdot)$.
\item L\aa t $(G,*)$ vara en grupp och $g\in G$. Man kan definiera en delgrupp fr\aa n $g$, den kallas den {\it delgruppen som genereras av $g$}:
$$<g>=\{g^n|n\in\zed\}$$
H\"ar $g^n=g*g*...*g$ $n$ g\aa nger.

S\"akert \"ar $<g>$ en d\"alm\"angd av $G$, varje potens av $g$ finns i $G$ enligt bin\"ar operationen. Man ska visa att operationen $*$ \"ar sluten p{\aa} $<g>$. L\aa t $g^n, g^m$ vara tv{\aa} element i $<g>$, vi har att
$$g^n*g^m=g^{n+m}\in<g>$$
\end{itemize}

\begin{definition}En grupp $(G,*)$ \"ar \"andlig om $G$ \"ar en \"andlig m\"angd.
\end{definition}

Grupperna $(\zed_n,+)$ och $(\zed_p^*,\cdot)$ \"ar bland de viktigaste \"andliga grupper.
\begin{definition}En grupp $(G,*)$ kallas en {\it cyklisk grupp} om den genereras av ett element: $G=<g>$.
\end{definition}
\noindent{\it Exempel.}\begin{itemize}
\item $(\zed, +)=<1>=<-1>$
\item Om $G=(<g>,*)$ \"ar en \"andlig cyklisk grupp d{\aa} m\aa ste det finnas ett tal $n$ s\aa dan att $g^n=1$, d\"ar $1$ \"ar nollelement i gruppen.
$$G=\{1,g,g^2, g^3,...,g^{n-1}\}$$
Det betyder att $|G|=n$. Heltalet $n$ kallas {\it ordningen} av element $g$, $ord(g)$.

Betrakta gruppen $(\zed_n, +)$. Den \"ar en cyklisk \"andlig grupp:  
$$(\zed_n, +)=(<[1]>, +)\text{ och }ord([1])=n$$
\item Betrakta gruppen $(\zed_6,+)$. Hur m\aa nga delgrupper finns?

Eftersom denna \"er en cyklisk grupp vi ska b\"astemma alla m\"ojliga cykliska delgrupper. \begin{itemize}
\item $H_0=<[0]>=\{[0]\}$, $ord([0])=1$;
\item $<[1]>=\zed_6$, $ord([1])=6$;;
\item $H_2=<[2]>=\{[2], [4], [0]\}$, $ord([2])=3$;
\item $H_3=<[3]>=\{[3],[0]\}$, $ord([3])=2$;
\item $<[4]>=H_2$, $ord([4])=3$;
\item $<[5]>=\zed_6$, $ord([5])=6$;
\end{itemize}
\end{itemize}
Om vi fixar en delgrupp, t.ex. $(H, *)\subset (G, *)$ kan vi definiera dess {\it sydokalsser} for varje $g\in G$:
$$g*H=\{g*h|h\in H\}$$

Sydoklasser av $H_2$ i $\zed_6$ \"ar
\begin{itemize}
\item $0+H_2=2+H_2=4+H_2=\{[4],[0],[2]\}=H_2$;
\item $1+H_2=\{[3],[5], [1]\}=3+H_2=5+H_2$
\end{itemize}
Vi ser att $\zed_6=(0+H)\cup (1+H)$.

Det kan man visa f\"or all grupper:
$$G=H\cup g_1*H\cup...\cup g_k*H\text{ f\"or n\aa gra } g_1,...,g_k\in G$$
d\"ar unionen best\aa r av disjunkta m\"angder (dvs att denna \"ar en partition av m\"angden $G$). Dessutom \"ar alla dessa sydoklasser like stora,
$$|H|=|g_i*H|\text{ f\"or alla }i=1,...,k$$

Det f\"oljer att:

\noindent{\it LAGRANGES SATS} Om $H$ \"ar en delgrupp av gruppen $G$ d{\aa} m\aa ste kardinaliteten av $H$, $|H|$, dela kardinaliteten av $G$, $|G|$.
 
\vspace{.1in} 

\noindent{\it Exempel} Enligt Lagranges Sats har $(\zed_p,+)$ bara tv{\aa} delgrupper: 
$$<[1]>=\{[1]\}\text{ och  }\zed_p=<[n]>\text{,  f\"or }n=2,...,p-1$$ 






\end{document}