\documentclass[12pt]{amsart} 
\usepackage[dvips]{graphics, color}
\theoremstyle{plain}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}

\theoremstyle{lemma}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\theoremstyle{exempel}
\newtheorem{exempel}[theorem]{Exempel}
\theoremstyle{corollary}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\theoremstyle{proposition}
\newtheorem{proposition}[theorem]{{Proposition}}
\theoremstyle{clam}
\newtheorem{clam}[theorem]{Claim}
\theoremstyle{conjecture}
\newtheorem{con}[theorem]{Conjecture}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{re}[theorem]{{Remark}}
\newtheorem{no}[theorem]{Notation}



\newtheorem{quest}[theorem]{Question}

\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}





\newtheorem{worning}[theorem]{{\rm W\sc orning}}

\newtheorem{para}[theorem]{}

\newtheorem{examp}[theorem]{Example}

\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}

\newcommand\pn[1]{{\mathbb P}^{#1}}
\newcommand\cal[1]{\mathcal {#1}}
\newcommand\cL{\mathcal L}
\newcommand\cZ{\mathcal Z}
\newcommand\cO[1]{\cal{O}_{\cal{{#1}}}}
\newcommand\X[1]{X^{[{#1}]}}
\newcommand\zed{{\mathbb Z}}
\newcommand\nat{{\mathbb N}}
\newcommand\rat{{\mathbb Q}}
\newcommand\real{{\mathbb R}}
%\newcommand\a{{\aa}}
\textwidth16cm
\textheight20cm
\oddsidemargin-0.3cm
\evensidemargin0.4cm
%\pagestyle{plain} 
\newtheorem{Definition}{\sf Definition}

\title{Lektion 03-31}

\begin{document}
\maketitle

Vi forts\"atter med ekvivalensrelationer.

F\"orst noterar vi n\aa gra egenskaper av ekvivalevsklasser: L\aa t $R$ vara en ekvivalenrelation p{\aa} $A$.
\begin{itemize}
\item $x\in [x]_R$ f\"or varje $x\in A$.
\item $xRy$ om och endast om $x\in [y]_R$. 
\item om $[x]_R\neq [y]_R$ \"ar $[x]_R\cap [y]_R=\emptyset$.

 Antag att $[x]_R\neq [y]_R$. Om $[x]_R\cap [y]_R\neq\emptyset$ d{\aa} kan man hitta $v\in [x]_R\cap [y]_R$, dvs att $vRx$ oxh $vRy$. Eftersom $R$ \"ar simmetrisk \"ar $xRv$. S{\aa} $xRv$ och $vRy$ och d{\aa} ($R$ \"ar transitiv) g\"aller $xRy$, dvs $[x]_R= [y]_R$.
\end{itemize}

Vi har visat att $\{[x]_R\}_{x\in A}$ \"ar en partition av $A$.

\vspace{.1in}

\noindent{\it Exempel} Betrakta ekvivalensrelationen:
$$xRy\Longleftrightarrow x\equiv_n y$$

Ekvivalensklassen $[x]_R$ \"ar kongruensklasser $[x]_n$ och
$$\zed=[0]_n\cup [1]_n\cup ... \cup [n-1]_n$$


\vspace{.1in}

\noindent{\it Exempel} L\aat $A$ vara en m\"angd med $|A|=n$. Vi kan definera en relation p{\aa} $P(A)$:
$$B,C\subseteq A, ARB\Longleftrightarrow |C|=|B|$$
\begin{itemize}
\item Den \"ar riflexiv: $|B|=|B|$ f\"or varje delm\"angd $B\in P(A)$.
\item Den \"ar symmetrisk: on $|B|=|C|$ d{\aa} \"ar $|C|=|B|$.
\item den \"ar transitiv.
\end{itemize}

Det finns $n+1$ ekvivalens klasser: $A_i=\{B\in P(A)| |B|=i\}, i=0,...,n$ d\"ar
$A_0=\{\emptyset\}$ och $A_n=\{A\}$.




\end{document}