\documentclass[12pt]{amsart} 
\usepackage[dvips]{graphics, color}
\theoremstyle{plain}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}

\theoremstyle{lemma}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\theoremstyle{exempel}
\newtheorem{exempel}[theorem]{Exempel}
\theoremstyle{corollary}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\theoremstyle{proposition}
\newtheorem{proposition}[theorem]{{Proposition}}
\theoremstyle{clam}
\newtheorem{clam}[theorem]{Claim}
\theoremstyle{conjecture}
\newtheorem{con}[theorem]{Conjecture}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{re}[theorem]{{Remark}}
\newtheorem{no}[theorem]{Notation}



\newtheorem{quest}[theorem]{Question}

\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}





\newtheorem{worning}[theorem]{{\rm W\sc orning}}

\newtheorem{para}[theorem]{}

\newtheorem{examp}[theorem]{Example}

\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}

\newcommand\pn[1]{{\mathbb P}^{#1}}
\newcommand\cal[1]{\mathcal {#1}}
\newcommand\cL{\mathcal L}
\newcommand\cZ{\mathcal Z}
\newcommand\cO[1]{\cal{O}_{\cal{{#1}}}}
\newcommand\X[1]{X^{[{#1}]}}
\newcommand\zed{{\mathbb Z}}
\newcommand\nat{{\mathbb N}}
\newcommand\rat{{\mathbb Q}}
\newcommand\real{{\mathbb R}}
%\newcommand\a{{\aa}}
\textwidth16cm
\textheight20cm
\oddsidemargin-0.3cm
\evensidemargin0.4cm
%\pagestyle{plain} 
\newtheorem{Definition}{\sf Definition}
\begin{document}
{\sf KTH Matematik}
\begin{center} 
 {\bf  5B1118 Diskret Matematik \\
L\"osningar till Kontrollskrivning 2 \\
M{\aa}ndagen den 1 22 Mars, 2004 \\}
\end{center}

\vspace{.3in}


\begin{enumerate}
\item (3p) Best\"am talet $x$ om
$$\sum_{i=0}^{50}{50\choose i}8^i=x^{100}.$$

$$9^{50}=(1+8)^{50}=\sum_{i=0}^{50}(1)^{50-i}(8)^i=\sum_{i=0}^{50}(8)^i= x^{100}.$$

S{\aa} $9^{50}=(x^2)^{50}$ och $x^2=9$.\\
Svaret \"ar altts{\aa} ${\bf x=\pm 3}$.

\vspace{.4in}

\item(3p) Hur m\aa nga arrangemang  av bokst\"averna i ordet ARRANGEMANG finns det? Hur m\aa nga av den har inga $A$ intill varandra?

Det finns $11$ bokst\"aver totalt med $3$ stycken A, $2$ stycken R, $2$ stycken N och $2$ stycken G. Antalet arrangemang \"ar lika med den multinomialskoefficient$${11\choose 3,2,2,2}=\frac{11!}{6\cdot 8}={\bf 831600}$$

Om vi tar borta alla $A$ har vi ${8\choose 2,2,2}=\frac{8!}{ 8}=7!=5040$ m\aa nga arrenemang av bost\"averna RRNGEMNG. F\"or att placera $3$ stycken  A s\aa dan att inga \"ar intill varandra m\aa ste vi l\"agga den mellan tv{\aa}  bost\"aver i RRNGEMNG :
$$*R*R*N*G*E*M*N*G*$$
Vi ska v\"alja $3$ stycken $*$ bland $9$ (utan upprepning och utan ordning) s{\aa} vi kan v\"alja p{\aa} $9\choose 3$ olika s\"att.

Enligt multiplicationsprincipen \"ar svaret:
$$5040\cdot {9\choose 3} = {\bf 423360}$$

\vspace{.4in}

\item(3p) Best\"am antalet heltal l\"osningar till ekvationen:
$$x_1+x_2+x_3+x_4=32$$
med $x_i>0$ f\"or $i=1,2$, $x_3>2$ och $x_4\geq 3$

S\"att $y_1=x_1-1\geq 0, y_2=x_2-1\geq 0, y_3=x_3-3\geq 0, y_4=x_4-3\geq 0$. Vi har att:
$$y_1+y_2+y_3+y_4=x_1+x_2+x_3+x_4-8=24$$

Vi ska ber\"akna antalet icke-negativa l\"osningar till den h\"ar ekvation.
Svaret \"ar:
$${4+24-1\choose 24}=\frac{27\cdot 26\cdot 25}{3\cdot 2}={\bf 2925}$$

\end{enumerate}

\vspace{1in}


\end{document}