\documentclass[12pt]{amsart} 
\usepackage[dvips]{graphics, color}
\theoremstyle{plain}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}

\theoremstyle{lemma}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\theoremstyle{exempel}
\newtheorem{exempel}[theorem]{Exempel}
\theoremstyle{corollary}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\theoremstyle{proposition}
\newtheorem{proposition}[theorem]{{Proposition}}
\theoremstyle{clam}
\newtheorem{clam}[theorem]{Claim}
\theoremstyle{conjecture}
\newtheorem{con}[theorem]{Conjecture}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{re}[theorem]{{Remark}}
\newtheorem{no}[theorem]{Notation}



\newtheorem{quest}[theorem]{Question}

\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}





\newtheorem{worning}[theorem]{{\rm W\sc orning}}

\newtheorem{para}[theorem]{}

\newtheorem{examp}[theorem]{Example}

\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}

\newcommand\pn[1]{{\mathbb P}^{#1}}
\newcommand\cal[1]{\mathcal {#1}}
\newcommand\cL{\mathcal L}
\newcommand\cZ{\mathcal Z}
\newcommand\cO[1]{\cal{O}_{\cal{{#1}}}}
\newcommand\X[1]{X^{[{#1}]}}
\newcommand\zed{{\mathbb Z}}
\newcommand\nat{{\mathbb N}}
\newcommand\rat{{\mathbb Q}}
\newcommand\real{{\mathbb R}}
%\newcommand\a{{\aa}}
\textwidth16cm
\textheight20cm
\oddsidemargin-0.3cm
\evensidemargin0.4cm
%\pagestyle{plain} 
\newtheorem{Definition}{\sf Definition}
\begin{document}
{\sf KTH Matematik}
\begin{center} 
 {\bf 5B1118 Diskret Matematik \\
ExtraKontrollskrivning  \\
19 Maj, 2004 \\}
\end{center}

\vspace{.3in}
\section*{Kontrollskrivning 1}
\begin{enumerate}
\item (3p) Hitta alla positiva heltal som uppfyller 
$$21m+66n=30$$

\vspace{.3in}

\item (3p) L\aa t $M=\{x\in\zed \text{ s{\aa} att }|x|\leq n\}$ och $P(M)$ vara m\"angden av delm\"angder till $M$. Visa att $|P(M)|=4^n$.

\vspace{.3in}

\item (3p) Hitta alla l\"osningar modulo $3$ av ekvationer
$$x+y=0$$
dvs alla l\"osningar i $\zed_3$.
\end{enumerate}

\vspace{.3in}

\section*{Kontrollskrivning 2}
\begin{enumerate}
\item (3p) Best\"am antalet heltal l\"osningar till ekvationen:
$$x_1+x_2+x_3+x_4=28$$
med $x_i>0$ f\"or $i=1,2,3$, och $x_4\geq 2$.

\vspace{.3in}

\item (3p) Hur m\aa nga olika ord med $5$ bokst\"aver kan man bilda med bokst\"averna i ordet DISKRET?

\vspace{.3in}

\item (3p) Visa att
$$(x+y)^3\equiv_3 x^3+y^3$$
\end{enumerate}


\vspace{.3in}

\section*{Kontrollskrivning 3}
\begin{enumerate}
\item (3p) \begin{itemize} \item Rita en graf med incidensmatris:
\[ A_G=\left( \begin{array}{ccccc}
1&0&0&1&0\\
0&1&1&0&0\\
1&0&0&1&0\\
0&0&1&0&1\\
0&1&0&0&1
\end{array} \right)\]
\item \"Ar $G$ Eulersk? (Motivera ditt svaret.)
\item Best\"am $\chi(G)$.
\end{itemize}

\vspace{.3in} 

\item(3p) Rita den bipartita grafen $K_{3,6}$. Hur m\aa nga $3$-cyklar finns i grafen?


\vspace{.3in} 

\item(3p) L\aa t $G=(E,V)$ vara en enkel graf och $G^*=(E^*, V^*)$ vara den duala grafen ( samma noder d\"ar tv{\aa} \"ar f\"orbundad precis n\"ar de inte \"ar f\"orbundad i $G$). Best\"am $|E|+|E^*|$ om $|V|=7$.
\end{enumerate}


\vspace{.3in}

\section*{Kontrollskrivning 4}
\begin{enumerate}
\item (3p)  Betrakta f\"oljande funktion:
$$f:\nat\to\nat\;\;\; f(n)=n+n^2$$
\begin{enumerate}
\item \"Ar $f$ injektiv?
\item \"Ar $f$ surjektiv?
\item \"Ar $f$ bijektiv?

\vspace{.3in}

\item (3p) Betrakta gruppen $(\zed_7, +)$
\begin{enumerate}
\item Best\"am ordningen av varje element i gruppen;
\item Beskriv alla delgrupper (alla \"ar cykliska).
\end{enumerate}

\vspace{.3in}

\item (3p)  Betrakta f\"oljande permutationer $\sigma,\tau\in{\mathbb S}_8$:
$$\sigma=[35472816],\;\;\; \tau=[12436587]$$
\begin{enumerate}
\item Best\"am $(\tau^{-1})^2$.
\item Best\"am $\tau^{-1}\circ\sigma\circ\tau$
\end{enumerate} 
\end{enumerate}



\end{enumerate}
\end{document}