P4.3e.2 Största och minsta värdet.

Uppgiften går ut på att räkna ut det största och minsta värdet som funktionen antar i det givna intervallet. Funktionens derivata räknas ut, sätts till 0 och derivatans nollställen räknas ut, vilket ger (eventuella) maximi resp. minimipunkter. En teckentabell ger en bättre överblick av kurvan. 0 och π tas även med i tabellen för att kolla om de eventuellt har lokala maximi eller minimivärden. Värderna av de lokala extrempunkterna fås då derivatans nollställen sätts in i ursprungsekvationen., och även ändpunkternas värden testas.

Om endast största och minsta värdet ska bestämmas räcker det med att jämföra funktionsvärdena för derivatans 0-ställen (kritiska punkterna) med värdena i ändpunkterna (och ev. i punkter där f inte är deriverbar, typ x=1 då |x-1| ingår i f(x) ).

I andra problem behöver man studera derivatans tecken mellan nollställena, ex.vis vid kurvskisseringar, värdemängdsproblem osv. Här följer därför en kommentar till den utmärkta teckentabell som finns här:
Den innehåller de båda ändpunkterna till intervallet (0 och π ) samt två 0-ställen till derivatan i det inre av intervallet. Kolumnerna mellan dessa x-värden representerar x-intervall där derivatans tecken skall bestämmas. Dessa tecken kan bestämmas genom en faktorisering av derivatan där tecknet för varje faktor kan avläsas, eller som här, genom insättning av ett x-värde i det inre av varje intervall. Om ekvationen f'=0 har lösts korrekt är man säker på att alla 0-ställen har hittats och därmed sker normalt inget teckenbyte inne i ett intervall (men se upp med ev. teckenbyten i ev. nämnare.)


Det finns en sats som säger att en kontinuerlig funktion på ett slutet, begränsat intervall (som här) alltid antar ett största och ett minsta värde.

GJ
Nyckelord:maximum minimum, största och minsta värde, globalt min, globalt max MS