Dörrstängaren

Animationen visar olika lösningar till differentialekvationen
y'' + 2ay' + y = 0 ,
y(0)=1, y'(0)=0..
Dessa lösningar kan tänkas beskriva svängningen av en dörr som påverkas av en fjäder och en dämpningsanordning. Fjäderkraften beror av utsvängningen y (=dörrens svängningsvinkel) och dämpningen av svängningshastigheten y' . Dämpningen storlek regleras av konstanten a
Under animationen varierar a mellan 0 och 2. Om man fryser animationen ger kurvan svängningsförloppet (svängningsvinkeln som funktion av tiden) för en viss dämpning a.
    Man kan urskilja de tre fallen:
  1. a>1: Stark dämpning. Reella rötter till karakt. ekv.
  2. a=1: Gränsfallet (optimal dämpning) Reell dubbelrot.
  3. a<1:Svag dämpning. Dörren svänger fram och tillbaka. Imaginära rötter.
Lösningarna:
  1. \textstyle 1 < a < 2 .
    Den karakteristiska ekvationen
    \textstyle r^2 + 2ar + 1 = 0 \quad har reella negativa rötter. \textstyle y = \frac{\sqrt{a^2-1} + a}{2\sqrt{a^2-1}} e^{(-a + \sqrt{a^2-1})t} + \frac{\sqrt{a^2-1} - a}{2\sqrt{a^2-1}} e^{(-a - \sqrt{a^2-1})t}.
  2. a = 1 , \quad r = -1 är dubbelrot.
    \textstyle y = e^{-t} + te^{-t}
  3. 0 < a < 1 . Imaginära rötter som ger trigonometriska funktioner i lösningarna. \textstyle y = e^{-at}\bigl(\cos{(\sqrt{1-a^2}\cdot t) }+\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\sin{(\sqrt{1-a^2}\cdot t)\bigr)}.
   a=0 a=1 a=2 a=1 a=0

Sidan bygger på en animation i Graphing Calculator av Andreas Nilsson.