Kontinuitetsanimation

Grafiken illustrerar ideerna bakom definitionen av kontinuitet hos en funktion f i punkten x=a (här a=1.5 ).

Den lodräta grå korridoren svarar mot de x-värden som uppfyller \textstyle |x-a| < \delta \ för ett visst δ,

Den vågräta grå korridoren svarar mot de värden som antas av \textstyle f(x) \text{ då } |x-a| < \delta .

Den gröna korridoren svarar mot de f(x)-värden som uppfyller \textstyle |f(x)-f(a)| < \epsilon \ \ för något valt ε.

Om villkoret \textstyle (*) \quad|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \epsilon \
är uppfyllt svarar det i grafiken alltså mot att den vågräta grå korridoren är innesluten i den gröna korridoren.

Flytta nu animationen med hjälp av den rörliga knappen till ett läge där den vågräta grå korridoren är innesluten i den gröna korridoren. I detta läge är alltså kontinuitetsvillkoret (*) uppfyllt.
Dra den rörliga knappen ett steg åt det håll den gröna ε-korridoren blir smalare. Då behövs ett mindre δ för att (*) ska uppfyllas. Vid en ny dragning åt samma håll blir δ tillräckligt litet. Nästa gång blir ε-korridoren åter smalare än den gråa osv.
Man får en illustration av dialogen mellan ε och δ: Till varje ε finns ett δ så att (*) är uppfyllt. Detta innebär att funktionen är kontinuerlig i x=a.

a=1 a=5 a=1

Sidan bygger på en animation i Graphing Calculator av Ambjörn Naeve.