Koefficienten för xy däremot divideras med 2 och placeras ut på två ställen, symmetriskt omkring diagonalen.
Detta gäller även koefficienterna för yz och xz i 3-variabelfallet varvid matrisen är en symmetrisk 3x3-matris.
Notera användningen av sambandet (AB)T = BTAT
i härledningen av diagonaliseringen:
(Ox')T = x'TOT.
Kvadratiska former studeras i samband med undersökning av
extremvärdens karaktär i fallet flervariabelfunktioner.
Då är det nämligen Taylorutvecklingens kvadratiska del
(som ju är en kvadratisk form) som normalt fäller utslaget.
Det är därför praktiskt att skaffa kriterier för
när en kvadratisk form är positivt definit, dvs alltid
positiv utom, då alla variabler är 0.
Man ser här att detta gäller då formens matris har
positiva egenvärden.
En annan tillämpning består i att avgöra
vilken typ av andragradskurvor/andragradsytor som definieras av P(x,y)
= 1 resp Q(x,y,z) = 1
där P och Q ä r kvadratiska former.
Att diagonalisera den kvadratiska formen för ex.vis en ellips
innebär att man väljer det nya koordinatsystemet så att
de nya koordinataxlarna blir parallella med ellipsens huvudaxlar.
Egenvektorerna till den kvadratiska formens matris fungerar som det nya
systemets basvektorer och pekar alltså ut ellipsens
huvudaxelriktningar.
Tecknen för koefficienterna till kvadrattermerna i den
diagonaliserade matrisen, dvs matrisens egenvärden, karakteriserar
andragradskurvan.
I fallet ellips är dessa koefficienter (egenvärden)
båda positiva.
kursboken 8.4