\documentclass[fleqn,swedish]{article}

\usepackage{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}

\pagestyle{myheadings}
\markright{}

\setcounter{secnumdepth}{-2}
%\setlength{\unitlength}{1mm}

\begin{document}
\vskip 5cm
\section{}
\subsection{}
\noindent KTH, Matematik

\vskip 0.5cm
\noindent
{\bf L\"osningsf\"orslag till  DEL 2}
\vskip 0.3cm
\noindent

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}

\item $A(2,1,0)=A(2(1,0,0)+(0,1,0))=2A(1,0,0)+A(0,1,0)=(3,1,3).$
\item $N(A)=\{w=(x,y,z), A_e^e w=0\}$ och best\aa r $N(A)$ av l\"osningarna till systemet:
\[\left\{\begin{array}{ccccccc}
x&+&2y&+&z&=&0\\
2x&-&y&+&z&=&0\\
x&+&2y&+&z&=&0\end{array}\right.\]
Det f\"oljer att $N(A)=Span((3,1,-5)), \dim(N(A))=1.$


\item Matrisen till $A$ med avseende till den standarda basen, $e=\{(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)\}$ \"ar:
\[[A]_e^e=\left[\begin{array}{cccc}
1&2&1\\
2&-1&1\\
1&2&1
\end{array}\right]\]
$$R(A)=\{v=(x,y,z)\in{\bf R}^3 \text{ s\aa dan att }v=A_e^e w, \text{ f\"or n\aa gon }w\in{\bf R}^3\}=\{v\in C(A)\}$$
Eftersom \"ar $\det([A]_e^e)=-1+2+4+1-4-2=0$ s{\aa} \"ar kolunnvektorerna linj\"art beroende, d.v.s $\dim(C(A)<3.$
Det f\"oljer att $C(A)=Span((1,2,1),(2,-1,2)), \dim(R(A))=2.$

\item $A(f_1)_e=A_e^e(f_1)=(4,2,4)_e=\frac{7}{2}f_1-\frac{1}{2}f_2+f_3=(\frac{7}{2}, -\frac{1}{2},1)_f=A(f_1)_f.$\\
$A(f_2)_e=A_e^e(f_2)=(2,0,2)_e=\frac{3}{2}f_1-\frac{1}{2}f_2+f_3=(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2},1)_f=A(f_2)_f.$\\
$A(f_3)_e=A_e^e(f_3)=(0,1,-2)_e=f_2-2f_3=(0, 1,-2)_f=A(f_3)_f.$

Det f\"oljer att:
\[[A]_f^f=\left[\begin{array}{cccc}
\frac{7}{2}&\frac{3}{2}&0\\
-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&1\\
1&1&-2
\end{array}\right]\]

\item P{\aa} likande s\"att ser man att:

\[[A]_f^e=\left[\begin{array}{cccc}
5&5&4\\
1&-3&0\\
2&-6&0
\end{array}\right], [A]_e^f=\left[\begin{array}{cccc}
4&2&-1\\
2&0&3\\
4&2&-1
\end{array}\right]\]

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item L\aa t $S$ beteckna speglingen och $P$ projektionen och l\aa t $[S]$ respektive $[P]$ beteckna dessa matriser relativt  standardbasen. Den s\"okta matrisen blir d{\aa}Êmatrisen $[P][S].$

En normal vektor till spegeln \"ar till exempel $\vec{n}=(1,1,-2).$ Vektorerna $(1,-1,0),(2,0,1)$ \"ar linj\"art oberoende och ligger p{\aa} planet. De bildar en bas $b$, med $\vec{n}$, till ${\bf R}^3.$
Enligt definitionen av speglingen \"ar: $S(1,-1,0)=(1,-1,0), S(2,0,1)=(2,0,1)$ och $S(\vec{n})=-\vec{n}.$
D{\aa} \"ar:
\[[S]_b^e=\left[\begin{array}{cccc}
1&2&-1\\
-1&0&-1\\
0&1&2
\end{array}\right]\]
Eftersom 
\[S(1,0,0)_e=[S]_b^e(e_1)_b=\left[\begin{array}{cccc}
1&2&-1\\
-1&0&-1\\
0&1&2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{6}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{2}{3}\\ -\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}\end{array}\right]\]
\[S(0,1,0)_e=[S]_b^e(e_2)_b=\left[\begin{array}{cccc}
1&2&-1\\
-1&0&-1\\
0&1&2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{-5}{6}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{6}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}\end{array}\right]\]
\[S(0,0,1)_e=[S]_b^e(e_3)_b=\left[\begin{array}{cccc}
1&2&-1\\
-1&0&-1\\
0&1&2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}\\ -\frac{1}{3}\end{array}\right]\]

\[\text{\"ar }[S]_e^e=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}
2&-1&2\\
-1&2&2\\
2&2&-1
\end{array}\right]\]

P{\aa} likande s{\"a}tt \"ar $B=\{(1,0,1),(1,-2,0),(2,1,2)\}$ en bas till ${\bf R}^3$ s\aa dan att $P(1,0,1)=(1,0,1), P(1.-2,0)=(1,-2,0), P(2,1,2)=0,$ och
\[[P]_B^e=\left[\begin{array}{cccc}
1&1&0\\
0&-2&0\\
1&0&0
\end{array}\right], [P]_e^e=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{cccc}
5&-2&-4\\
-2&8&-2\\
-4&-2&-5
\end{array}\right]\]

Svaret blir d{\aa} 
\[[P]_e^e [S]_e^e= \frac{1}{27}\left[\begin{array}{cccc}
4&-17&10\\
-16&14&14\\
-16&-10&-7
\end{array}\right]\]

\item Efersom \"ar $det([P]_b^e=0$ s{\aa} \"ar  $det([P]_e^e)=0$ och $det ([P]_e^e [S]_e^e)=det([P]_e^e)det( [S]_e^e)=0.$
Det viste man eftersom \"ar $P$ en projektion och d\"arf\"or \"ar v\"ardsm\"angden av $PS$ ett delrummet av planet $2x_1+x_2+2x_3=0.$

Nollrummet \"ar givet av vektorerna som speglas p{\aa} vektorer ortogonala till planet, d.v.s. $v$ s{\aa} att
$Sv=(2,1,1)$. Man ber\"akna att Nollrummet \"ar linjen $Span(7,4,4).$

Rftersom \"ar $nulllity(PS)=1$ s{\aa} \"ar $\dim(R(PS))=2$ och d|"arf\"or \"ar v\"ardsm\"angden lika med planet 
$2x_1+x_2+2x_3=0.$
\end{enumerate}

\item Inte aktuell f\"or KS4.

\item  $A(0,0,0)=(0,0,1)\neq 0_{{\bf R}^3}$. Varje linj\"ar avbildning bildar $0$ till $0.$

\item \begin{enumerate}
\item L\aa t $S=(e_1,e_2,e_3,e_4)$ vara en bas till ${\bf R}^4.$ Definiera $A$ genom att s\"atta:
$$A(e_1)=A(e_2)=0, a(e_3)=e_1, A(e_4)=e_2.$$
D{\aa} \"ar $A(x,y,z,w)=(z,w,0,0).$ $R(A)=Span(e_1,e_2)$ och $A(A((x,y,z,w))=A((z,w,0,0))=(0,0,0,0).$

\item $A^2=0$ betyder att $R(A)\subseteq Ker(A).$ Eftersom \"ar $\dim(R(A))=2$ betyder detta att $\dim(Ker(A))\geq 2.$
Det f\"oljer att om $A:V\to V$ s{\aa} ska $\dim(V)\geq 2+2=4.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}

\item  Best\"am, f\"or varje reellt tal $h\in {\bf R},$  l\"osningarna till ekvationssystemet
\[\left\{\begin{array}{ccccccc}
x&+&hy&+&hz&=&1\\
x&+&hy&+&z&=&0\\
x&&&-&hz&=&0\end{array}\right.\]

Svar: Gauss eliminering ger:
\[\left[\begin{array}{cccc}
1&h&h&1\\
1&h&1&0\\
1&0&-h&0
\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}
1&h&h&1\\
0&0&1-h&-1\\
0&-h&-2h&-1
\end{array}\right]\to\left[\begin{array}{cccc}
1&h&h&1\\
0&-h&-2h&-1\\
0&0&1-h&-1
\end{array}\right] \]
 Om $h=0,1$ d{\aa} saknar systemet l\"osningar.
 Om $h\neq 0,1,$ d{\aa} har systemet en unik l\"osning: $(x,y,z)=(-\frac{h}{1-h},\frac{1+h}{h(1-h)}, \frac{1}{1-h}).$



$h\neq 0,1$ unik l\"osning, $h=0,1$ ingen l\"osning.



\item  En matris $A=(a_{ij})\in M_{n,n}({\bf R})$ kallas symmetrisk om $a_{ij}=a_{ji}$ f\"or varje $i,j.$ Visa att om $A=(a_{ij})\in M_{n,n}({\bf R})$ \"ar symmetrisk s\aa dan att $A^2=A,$ d{\aa} \"ar
\begin{enumerate}
\item $tr(A)\geq 0$  och 
\item $tr(A)=0 \text{ om och endast om }A=0.$
\end{enumerate}
($tr(A)=a_{11}+a_{22}+\ldots +a_{nn}$  betecknar sp\aa ret av $A$.)


\noindent L\"osning: Enligt matrisprodukts reglerna s{\aa} har vi att:
\[\begin{array}{ccc}
a_{11}^2+a_{12}^2+\ldots +a_{1n}^2&=&a_{11}\\
a_{21}^2+a_{22}^2+\ldots +a_{2n}^2&=&a_{21}\\
\ldots&&\ldots \\
a_{n1}^2+a_{n2}^2+\ldots +a_{nn}^2&=&a_{n1}\\
\end{array}\]

Det f\"oljer att $a_{ii}\geq 0$ f\"or varje $i=1,\ldots,n$ och att $a_{ii}=0$ om och endast om $a_{ij}=0$ f\"or $j=1,\ldots, n.$
Eftersom $a_{ii}\geq 0$ f\"or varje $i=1,\ldots,n$ s{\aa} \"at $tr(A)>0.$

Om $A=0$ d{\aa} \"ar $tr(A)=0.$ Om $tr(A)=0,$ eftersom $a_{ii}\geq 0$ f\"or varje $i=1,\ldots,n,$ s{\aa} \"ar  $a_{ii}= 0$ f\"or varje $i=1,\ldots,n.$ Det f\"oljer att $a_{ij}=0$ f\"or $j=1,\ldots, n$
 och $i=1,\ldots,n,$ som betyder att $A=0.$
 





\end{enumerate}

\end{document}
