Talföljder, rekursioner och iterationer (ht 00, vt 01)
Knep & Knåp - Finn nästa tal i serierna!
1. 1, 3, 7, 15, 31,
2. 1, 3, 6, 10, 15,
3. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ,
4. 1, 2, 6, 24, 120,
5. 1, 2, 3, 5, 7, 11,
6. 1, 8, 27, 64,
7. 1, 2, 5, 14, 42,
Nr. 7 är svår, så bli inte besviken om du inte klarar den.
Talföljder är inte bara till för knep och knåp. De är ett viktigt element i hela matematiken. Det finns många frågor man vill ha svar på. T ex om en talföljd närmar sig något värde, eller om summan av de n första talen närmar sig något värde då n ökar. Hur hittar man en formel för talföljden, dvs n:te talet ges av f(n) där f(n) är ett uttryck. Alla talföljder utom nr 5 ovan finns det formler till. Försök gärna ge formeln för några av de övriga! Nr. 3 och 7 är dock mycket svåra att ge en formel för.
Nedan ser du de s k tornen i Hanoi. Hur många drag krävs för att flytta över alla brickor från första pinnen till sista? Man får inte lägga en bricka på en större och givetvis får man inte flytta mer än en bricka i taget.
Om du testar med några enkla fall (upp till fyra brickor som på
bilden ovan) så märker du snart att antal drag stämmer
överens med en av talföljderna ovan. Beviset för att denna
formel ger antal drag görs med hjälp av s k induktion, en viktig
bevismetod som det står mer om i kompendiet.