5B1493 Matematik fördjupning för lärare

Förslag till ny studiehandbokstext för 5B1493 Matematik fördjupning för lärare

Matematik, fördjupning

Fördjupande kurs om matematikens, särskilt analysens, grunder med utblickar mot komplex analys och eventuellt något annat område. Studenten får fördjupa sina kunskaper inom några områden som är av särskild betydelse för hans/hennes verksamhet som lärare, samt reflektera över frågor om talens och matematikens natur som kan tänkas komma upp i en undervisningssituation.

Mål

Efter genomgången kurs ska studenten

-- kunna förklara talsystemets uppbyggnad, både intutivt och axiomatiskt, särskilt Peanos axiom för de naturliga talen och Dedekinds konstruktion av de reella talen

-- kunna genomföra kardinalitetsargument som visar uppräkneligheten av de rationella och överuppräkneligheten av de reella talen

-- kunna redogöra för matematiken som logiskt system med axiom och härledningsregler, definitioner, satser och bevis

-- förstå och kunna använda mängdteoretiska och topologiska grundbegrepp i matematiska resonemang

-- kunna redogöra för olika typer av konvergens i olika typer av rum, till exempel Euklidiska rum och olika funktionsrum, samt känna till något om kompakthet och sammanhängande mängder

-- förstå och kunna redogöra för grundläggande begrepp i reell analys som konvergens, kontinuitet, gränsvärde, derivata och (Riemann-)integral

-- kunna definiera och härleda enklare egenskaper hos exponentialfunktionen, den naturliga logaritmen, samt sinus- och cosinusfunktionerna

-- använda supremumegenskapen hos de reella talen för att, bland annat, bevisa egenskaper hos kontinuerliga reellvärda funktioner av en reell variabel

-- känna till viktiga satser i differential- och integralkalkyl, till exempel inversa funktionssatsen, Weierstrass approximationssats, Picards sats om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer, och ha ett hum om hur dessa kan bevisas

-- känna till några belysande exempel i analysen, till exempel på en kontinuerlig funktion som är ingenstans deriverbar och en funktionsföljd som är punktvis men inte likformigt konvergent

-- känna till något om inledande komplex analys

För högre betyg än 3 ska studenten dessutom

-- kunna redogöra för och analysera kontinuitet, konvergens, kompakthet och sammanhang i allmänna metriska rum

-- självständigt bedriva fördjupade studier inom något område han eller hon väljer fritt bland följande: analytiska funktioner, Lebesgue-integralen, euklidisk/icke-euklidisk geometri, klassiska konstruktionsproblem, funktionalanalys

Kursinnehåll

Matematik som logiskt system. Talsystemet, särskilt Peanos axiom för de naturliga talen och Dedekinds konstruktion av de reella talen. Kardinalitet. Grundläggande punktmängdstopologi, metriska rum. Konvergens, kontinuitet, sammanhang. Kontraktioner och fixpunktssatser. Fördjupat studium av differential- och integralkalkyl, inklusive inversa funktionssatsen, Weierstrass approximationssats och Picards sats om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer. En orientering om komplex analys. För högre betyg ingår dessutom studier inom ytterligare något område.

Förkunskaper

5B1122 Matematik 1 för lärare, 5B1123 Matematik 2 för lärare, 5B1118 Diskret matematik och 5B1212 Differentialekvationer och transformer III, eller motsvarande kunskaper.

Kurslitteratur Bestäms vid kursstart. Föregående år användes Charles Chapman Pugh: Real Mathematical Analysis och kompletterande material.