Föreläsning 18/1: Gick igenom avsnitt 4.1 och början av 4.2 i Anton/Rorres. Läs själva det jag hoppade över i 4.1. Begreppen funktion/avbildning på sid 181-182 är fundamentala även senare i kursen, läs igenom noga. Huvudpoängen i dagens föreläsning var definitionen av en linjär avbildning samt sambandet mellan linjära avbildningar och matriser (sid 183).
Föreläsning
23/1: Färdiga med avsnitt 4.1-4.3. Följande hann jag
inte med på föreläsningen:
* Argumentetet som
leder till Sats 4.3.1 (en linjär operator är inverterbar
om och endast om den är 1-1), läs punkterna på sid
198.
* Sats 4.3.2 och Sats 4.3.3, ger allmän metod att hitta
matrisen till en linjär avbilding.
* Begreppen
“egenvärde/egenvektor” återkommer vi till
senare, läs sid 203-206 och framförallt ex.8 sid 205.
Föreläsning 26/1: Gick igenom från 5.1 fram till 5.4, definition av begreppet “bas”, sid 251. Avsnitt 5.1 behöver bara läsas som allmänbildning, den viktiga poängen är att det geometriska tankesättet för vektorer och linjära avbildningar i R^n också är applicerbart för andra vektorrum.
Föreläsning 1/2: Ägnade hela föreläsningen åt avsnitt 6.5 om basbyten. Exemplet med spegling i en linje finns väsentligen som Exempel 3, sid 435.
Föreläsning 6/2: Gick igenom avsnitt 7.1 om egenvektorer och 7.2 om diagonalisering. Bevisen av satserna 7.2.1 och 7.2.2 ger god förståelse, se till att läsa dessa bevis noga. Hoppa över diskussionen om geometrisk multiplicitet på sid 376.
Föreläsning 9/2: Klara med Modul 1 om Linjär algebra! Dagens föreläsning handlade om ortonormala baser (6.3), ortogonala matriser (6.6) samt ortogonal diagonalisering (7.3). De viktiga punkterna är: en ortogonal matris bevarar skalärprodukten mellan vektorer (sats 6.6.3); en ortogonal matris har ortonormala kolumner och rader (sats 6.6.1); ortonormalt basbyte ges av ortogonal matris (sats 6.6.4); samt viktigast av allt: en matris är ortogonalt diagonaliserbar om och endast om den är symmetrisk (sats 7.3.1) och för en symmetrisk matris är egenvektorer för olika egenvärden automatiskt ortogonala (sats 7.3.2).
Föreläsning 15/2: Gick igenom 1.3 om mängder i R^n och det mesta från 1.4 om funktioner från R^n till R^p, (parametriserade ytor (1.4.5) återkommer vi till). Materialet i dessa stycken är fundamentalt för resten av kursen, läs ordentligt och noga!
Föreläsning 20/2: Dagens föreläsning handlade om gränsvärden (1.5) samt kontinuerliga funktioner (1.6). Se till att läsa definition 5 (sid 34) noggrannt tillsammans med Exempel 24, 25, 26. Se speciellt till att förstå skillnaden mellan den allmänna definitionen av gränsvärde med epsilon-nära/delta-nära punkter och gränsvärden för funktionen längs linjer/kurvor. Avsnitt 1.6 om kontinuerliga funktioner är kort. De två sista meningarna på sid 40 är viktiga, vi kan dessutom formulera följande faktum: Alla formeluttryck med elementära funktioner är kontinuerliga överallt där de är definierade. Läs igenom sid 41-42 som innehåller ett par viktiga satser.
Föreläsning 23/2: Gick igenom partiella derivator och differentierbarhet, avsnitt 2.1-2.2. Skillnaden mellan dessa begrepp är att "differentierbar" kräver god linjär approximation i alla variabler samtidigt, medan "partiellt deriverbar" bara kräver god linjär approximation i en variabel i taget. Ett fundamentalt resultat är Sats 3 (sid 56) som säger att en funktion med kontinuerliga partiella derivator är differentierbar, läs igenom beviset för denna sats! Jag hann inte nämna tangentplan på sid 54-55, detta är förstås ett viktigt begrepp!
Föreläsning 27/2: Föreläsningen handlade om kedjeregeln (2.3) samt gradient och riktningsderivata (2.4). Observera hur kedjeregeln kan formuleras med hjälp av gradienten (formel (27) sid 76), ytterligare varianter av kedjeregeln kommer i avsnitt 3.2. Jag hann inte nämna alla viktiga egenskaper hos gradienten, se till att noga förstå Sats 5 (sid 76), Sats 7 (sid 79), samt diskussionen på sid 81-83!
Föreläsning 2/3: Gick igenom avsnitt 2.5 och 2.6. Den tunga biten är sid 101-110 där det beskrivs hur man kan avgöra om en stationär punkt är ett lokalt max/min genom att studera de kvadratiska termerna i Taylorutvecklingen i punkten. På sid 103-110 visas hur man kan bestämma typerna (1)-(4) (sid 102) genom kvadratkomplettering. Man kan också avgöra detta genom att beräkna egenvärdena till den symmetriska matrisen som hör ihop med Q. Avsnitt 2.7 stryker vi ur kursen och avsnitt 3.1 flyttas till efter lappskrivning 2. De närmaste tre föreläsningarna hålls av Tomas Sjödin.
Föreläsning 22/3: Dagens tema var Implicita funktionssatsen, avsnitt 3.4. Den enklaste varianten (Sats 3, sid 148) ger villkor för att de ska gå att lösa ut y=f(x) ur en ekvation F(x,y)=c nära en punkt (x,y)=(a,b). Därefter följer en variant med en ekvation i tre variabler (sid 151) och fallet med två ekvationer i tre variabler (sid 153). Denna sista variant hann jag inte säga mycket om men den ingår i kursen, den allmänna formuleringen på sid 156 är det bra att kika på men den kan betraktas som överkurs. Observera att principen i alla fall är den samma: Villkoret för att det ska gå att lösa ut en/flera variabler (som funktion av de övriga variablerna) är att derivatan med avseende på denna/dessa variabler inte är noll. Med en variabel är det en enkel partiell derivata som ska vara skild från noll, med flera variabler är det en funktionaldeterminant som ska vara skild från noll.
Föreläsning 27/3: Gick igenom avsnitt 4.1 och 4.2 om optimeringsproblem.
Föreläsning 30/3: Dagens föreläsning handlade om optimering med bivillkor, avsnitt 4.3. Huvudresultatet är Sats 1, sid 173, som också finns formulerad för flera variabler på sid 176-177. Studera bilden av nivåkurvor på sid 173 och tänk efter hur motsvarande gradienter, grad f, grad g, passar in i bilden. Teorin för flera bivillkor, sid 178-182, hoppar vi över. Lappskrivning 3 (onsdag 5/4, 13.15-14.00) omfattar avsnitt 3.1-3.4, 4.1-4.3.
Föreläsning 4/4: Började med integraler. Avsnitt 5.1 handlar om att derivera integraler “under integraltecknet”. Teorin i detta avsnitt får betraktas som överkurs, men problemen är mycket nyttiga som repetion av integralberäkningar. Därefter gick jag igenom 6.1 om dubbelintegraler över rektangulära områden. Läs igenom detta stycke från börja till slut! De viktigaste resultaten är Sats 2 (sid 235), som kan tolkas “dubbelintegral = volym = integral av tvärsnittsarea”, samt Sats 3 (sid 237), “kontinuerliga funktioner är integrerbara”. Läs Exempel 2 (sid 239) och fundera på integrationsordningens betydelse.
Föreläsning 6/4: Dubbelintegraler över godtyckliga områden, Sats 4 (sid 246) är fundamental. Exempel 7 (sid 250) visar hur man delar upp ett integrationsområde, lös också exempel 6 (sid 249) med omvänd integrationsordning.
Föreläsning 18/4: Gick igenom variabelbyte i dubbelintegraler. Det viktiga specialfallet med polära koordinater finns i Avsnitt 6.3 (sid 256-257), det allmänna fallet är behandlat i Sats 6 i Avsnitt 6.4 (sid 259-261). Läs noga alla exempel på sid 262-269!
Föreläsning 20/4: Dagens föreläsning handlade om dubbelintegraler där antingen området eller funktionen är obegränsad, dvs. om “generaliserade integraler” (Avsnitt 6.6). Vi studerar endast generaliserade integraler med icke-negativa funktioner (Exempel 19, sid 272, visar ett lite underligt fenomen som annars kan uppstå). Om man endast vill avgöra om en integral är konvergent eller divergent så kan ett jämförelseargument förenkla beräkningarna, se sid 279-281. Avsnittet om integrander med växlande tecken (sid 281-284) ingår ej i kursen, men läs gärna igenom det för att få förklaringen till Exempel 19. Avsnitt 6.5 om integration med hjälp av nivåkurvor ingår inte heller i kursen, men kan också vara bra att läsa igenom.
Föreläsning 24/4: Gick igenom Avsnitt 7.1 om trippelintegraler. Läs noga om sfäriska koordinater på sid 33-34, 140-141, 292-293.
Föreläsning 27/4: Räknade ett exempel på volymberäkning som en trippelintegral av den konstanta funktionen f=1, Avsnitt 8.1. Började sedan på Avsnitt 8.2 om ytarea och integraler över ytor. Formel (5), sid 305, är fundamental.
Föreläsning 2/5: Vi började med att härleda formeln för areaelementet dS för en funktionsgraf z = f(x,y). Denna beräkning finns i Exempel 8, sid 308-309, (men är mycket viktigare än bara ett “exempel”!). Från Avsnitt 8.2 vet vi nu hur man beräknar integralen av en funktion över en yta och som specialfall hur man beräknar arean av en yta. Vi påminde oss också om hur man beräknar längd av en kurva och integral av en funktion längs en kurva i två eller tre dimensioner. Detta finns beskrivet i envariabelboken i Avsnitt 7.4. För en parametriserad kurva r(t), a<t<b, ges båglängdselementet av ds = |r'(t)| dt. Därefter gick vi igenom kurvintegral av vektorfält i två dimensioner, (Def. 1, sid 328). Två skrivsätt för integralen finns i definitionen, läs också det avsnitt som börjar längst ner på sid 333 och slutar överst på sidan efter; formel (4) är viktig för att förstå denna sorts integraler.
Föreläsning 4/5: Greens formel räknar ut kurvintegralen av ett vektorfält runt randen av ett område som en dubbelintegral över området (Avsnitt 9.2). Exempel 7, sid 338, visar hur man kan använda Greens formel för att förenkla kurvintegraler för en kurva som ej är sluten.
Föreläsning 9/5: Som repetition av Greens formel gick jag igenom sid 342 om beräkning av area med en kurvintegral. Gick sedan igenom Avsnitt 9.4 från sid 344 till sid 352 om begreppen: (1) “konservativt fält”, (2) “oberoende av vägen” samt (3) “dQ/dx = dP/dy”. På lektionen i morgon kommer ni att få se avslutning av detta, nämligen “enkelt sammanhängande” och Sats 5 (sid 353), vilket ger en fullständig bild av hur (1)-(3) hänger samman.
Föreläsning 11/5: Gick igenom Avsnitt 10.1 om kurvintegraler och ytintegraler i rummet. Kurvintegral i tre dimensioner är inget väsentligt nytt. Läs noga sid 360-363 om definitionen av flödesintegral.
Föreläsning 15/5: Idag gick jag igenom begreppet divergens samt Gauss sats, Avsnitt 10.2. Divergensen är definierad av Formel (4), sid 367. Enligt Gauss sats så kan Formel (7) på sid 371 användas som en likvärdig definition. På föreläsningen visade jag hur man kan gå direkt från (7) till (4) genom att Taylorutveckla vektorfältet u.
Föreläsning 22/5: Gick igenom begreppet rotation av vektorfält samt Stokes sats, Avsnitt 10.3. Stokes sats kan ses som en 3-dimensionell variant av Greens formel: arbetet av ett vektorfält runt randen av en yta är lika med flödet av rotationen genom ytan. I två dimensioner har vi att arbetet av ett vektorfält runt randen av ett område är lika med integralen av dQ/dx - dP/dy över området.
Föreläsning 23/5: Repetition av material ur modulerna Linjär algebra och Differentialkalkyl.
24/5: Har lagt till repetitionsmaterial på kurssidan.