KTH
Matematik
| Rekommenderade uppgifter | Inlämningsuppgifter |Matematikjour | Tentamensanmälan | Extentor |
| Resultat |
SF1633, Differentialekvationer I, 2011.2012.
Nyheter för CBIOT2 och CKEMV2 hösten 2011.
Nu finns resultatet på tentamensskrivningen den 5 mars 2012 tillgängligt via länken SF1633.20120305.
Resultatet finns även tillgängligt under Resultat
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
Nu finns lösningsförslag till dagens kompletteringstentamen tillgänglig via länken 20120305.TextSvar.
Nu finns resultatet på tentamensskrivningen den 4 februari 2012 tillgängligt via länken SF1633.20120204.
Resultatet finns även tillgängligt under Resultat
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
De som erhållit 2 godkända moduler får möjlighet att komplettera till godkänt betyg.
TID: Måndagen den 5 mars 2012.
Skrivtiden är 1715-1815. Skrivtid 60 minuter. Man sitter hela skrivtiden.
Skrivsal meddelas senare.
Var ute i god tid !
Nu finns resultatet på kompletteringsskrivningen den 14 november 2011 tillgängligt via länken SF1633.37.20111114. Resultatet finns även tillgängligt under Resultat
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
Nu finns lösningsförslag till dagens tentamen.
Den nås via länken
SF1633.Extentor eller direkt 20111114.TextSvar.
Nu finns resultatet på tentamensskrivningen den 17 oktober 2011 tillgängligt
via länken Resultat eller direkt SF1633.37.20111017.
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
De som erhållit 2 godkända moduler får möjlighet att komplettera till godkänt betyg
måndagen den 14 november 2011.
Skrivtiden är 1630-1730. Man sitter hela skrivtiden.
Skrivsalarna för måndagens tentamen finns under länken Tentamina hösten 2011.
LYCKA TILL !
Visat att laplacetransformen för en styckvis kontinuerlig funktion av exponentiell ordning
går mot noll då s går mot oändligheten.
Visat laplacetransformen för periodiska funktioner.
Visat laplacetransformaen av faltningsintegralen.
Löst uppgifterna Z.C.7.4.14.,Z.C.7.4.26.och Z.C.7.6.6.
Bestämt den lösning till differentialekvationen
diff(y(t),tt)+t*diff(y(t),t)-y(t)=0
som uppfyller villkoren y(0)=0 och diff(y(t),t)(0)=1.
Onsdagens föreläsning kommer att ägnas åt repetition.
Resultatet av KS2 finns nu tillgängligt under Resultat eller direkt KS2 .
Kontrollskrivningarna, KS2, finns nu på teknologexpeditionen.
Kontrollera att resultatet stämmer.
SPARA KONTROLLSKRIVNINGARNA TILLS RESULTATET PÅ KURSEN ÄR RAPPORTERAT I LADOK.
Löst uppgifterna Z.C.7.3.16., Z.C.7.5.6., Z.C.7.3.42. och Z.C.7.4.36.
Visat att en styckvis kontinuerlig funktion av exponentiell ordning har laplacetransform.
Visat laplacetransformen för periodiska funktioner.
Genomgång av laplacetransformen för t^n*f(t).
Bestämt laplacetransformen för följande funktioner:
f(t)=1, f(t)=exp(at), f(t)=cos(at), f(t)=sin(at), f(t)=t och f(t)=t^2.
Diskuterat faltningsintegralen och dess laplacetransform.
Löst uppgifterna Z.C.7.1.32., Z.C.7.2.8, Z.C.7.2.16. och Z.C.7.2.34.
Introduktion av integraltransformer, Laplacetransformer och Fouriertransformer.
Definierat laplacetransformen.
Presenterat laplacetransformens ideer.
Visat laplacetransformen för första och andra derivatorna.
Definierat Heavisides stegfunktion U(t-a).
Visat laplacetransformen för funktionen f(t-a)U(t-a).
Skisserat funktionerna f(t), f(t)U(t-a) och f(t-a)U(t-a).
Bestämt laplacetransformen för funktionen fa(t)=(1/(2*a))*(U(t-(t0-a))-U(t-(t0+a))).
Genomfört gränsövergång då a går mot noll.
Därvid har vi erhållit laplacetransformen för Diracs deltafunktion.
Visat laplacetransformen för funktionen f(t)*exp(at).
Bestämt laplacetransformen för först och andraderivatan.
29 sep 2011.
Löst uppgift Z.C.11.3.42. där en partikulärlösning till differentialekvationen
diff(x(t),tt)+x(t)=f(t) bestämdes.
Högerledet är en periodisk funktion och utvecklades i en cosinusserie.
Löst följande problem.
Givet att s(x)=sum[cos(nPix)/n^2, n=1--oändl) är lika med
((Pi^2)/12)*(3x^2-6x+2) då 0 < x <1.
Beräkna s(-8/3).
Bestämt fourierutvecklingen för f(x)=x^2, 0
sum(1/n^2, n=1--oändl) och sum((-1)^n/n^2, n=1--oändl).
Fourierkoefficienten bn skall vara lika med -4Pi/n.
OBS !
Anmälningstiden är mellan den 5 september till och med den 2 oktober kl 2400.
OBS !
26 sep 2011, e.m.
Repetition av fourierserier.
Löst uppgifterna Z.C.11.2.19, Z.C.11.3.28. och Z.C.12.5.12.
Resultatet av KS1 finns nu tillgängligt under KS1 .
OBS ! Tentamensanmälan. OBS !
SPARA KONTROLLSKRIVNINGARNA TILLS RESULTATET PÅ KURSEN ÄR RAPPORTERAT I LADOK.
Nu finns dagens KS tillgänglig KS2.
Definierat trigonometriska fourierserier.
Bestämt fourierkoefficienterna.
Särskilt har udda och jämna funktioner betraktats.
Konvergensförhållandena för fourierserier har diskuterats.
Löst uppgift Z.C.11.2.7. och kommenterat Gibbs fenomen.
Slutfört uppgift Z.C.12.3.3.
Fortsättning av måndagens föreläsning.
Anpassat lösningarna till vågekvationen till randvillkoren u(0,t)=u(L,t)=0.
Anpassat dessa lösningar till begynnelsevillkoren:
Härvid har ett problem uppstått.
Nämnligen att uttrycka en funktion med hjälp av sinustermer.
Bestämt produktlösningar till värmeledningsekvationen med hjälp av variabelseparationsmetoden. Uppgift Z.C.12.3.3.
Vidare har de lösningar som uppfyller randvillkoren bestämts.
Slutligen har begynnelsevillkoret använts.
Detta har lett till att en funktion skall uttryckas med hjälp av konstantterm och cosinustermer.
Detta ger oss anledning att studera trigonometriska fourierserier.
Definierat inre produkt. Visat ortogonalrelationerna.
Visat att funktionsföljden
{1, cos(Pix/p), cos(2Pix/p),...., cos(mPix/p),..., sin(Pix/p) , sin(2Pix/p), ....,sin(nPix/p), .... }
är ortogonal på intervallet (-p,p).
Löst uppgift Z.C.10.3.14.
Påbörjat avsnittet med partiella differentialekvationer.
Introduktion av partiella differentialekvationer.
Infört variabelseparationsmetoden.
Löst följande partiella differentialekvation:
diff(u(x,y),x)=u(x,y)+diff(u(x,y),y)
med villkoret u(x,0)=5*exp(-3*x)-4*exp(x).
Använt variabelseparationsmetoden på vågekvationen.
De tre skilda fallen har undersökts.
Repetition av onsdagens föreläsning.
Stabilitetsundersökning av autonoma differentialekvationer.
Stabilitetsundersökning av icke-linjära system av autonoma differentialekvationer.
Taylorutveckling användes för linjarisering.
Löst uppgift Z.C.10.3.18.
Löst uppgift Z.C.10.3.30.
Uppgifterna löstes genom att linjarisera det icke-linjära systemet
Fasplanemetoden tillämpades på en del av uppgift Z.C.10.3.30.
Slutfört Z.C.8.3.13.
Introduktion av autonoma system och stabilitet.
Diskuterat olkia lösningstyper: stationär punkt, båge och periodisk lösning.
Villkor för entydig stationär punkt.
Klassificerat de olika typerna av punkter:
stabil nod, instabil nod, sadelpunkt, degenererad stabil nod, degenererad instabil nod, stabil spiralpunkt, instabil spiralpunkt och centrum.
Sammanfattning angående stabilitet för linjära system med utgångspunkt från egenvärden.
Löst uppgifterna Z.C.10.1.6, Z.C.10.1.16, Z.C.10.2.11 och Z.C.10.2.18.
Repeterat lösning av homogent system av differentialekvationer samt variation av parametrar.
Löst uppgifterna Z.C.8.2.2., Z.C.8.2.19., Z.C.8.2.36. och Z.C.8.3.13.
Nu finns dagens KS tillgänglig KS1.
Gårdagens föreläsning behandlade följande.
Bestämt lösningarna till systemet:
diff(x(t),t)=a*x(t)
diff(y(t),t)=b*y(t)
Både ekvationerna och lösningarna har presenterats på matrisform.
Vidare har egenvärden och egenvektorer bestämts till systemets matris.
Omformat differentialekvationen diff(y(x),xx)+y(x)=0 till ett linjärt system av första ordningen.
Bestämt egenvärdena och tillhörande egenvektorer till systemets matris.
Vidare har en komplex lösning till systemet bestämts.
Utifrån denna har två linjärt oberoende lösningar bestämts.
Konstaterat att karakteristiska rötterna till differentialekvationen och egenvärdena är identiska.
Presenterat teorin för lösningarnas uppbyggnad.
Genomgång av allmänna homogena lösningen till det homogena systemet.
Genomgång av fallen med
a) Skilda reella egenvärden.
b) Upprepade reella egenvärden.
c) Komplexa egenvärden.
Infört Wronskianen, Wronskideterminanten.
Redogjort för kopplingen mellan Wronskianen och linjärt oberoende lösningar.
Beskrivit lösningsstrukturen för system av linjära differentialekvationer.
Genomfört metoden "variation av parametrar på systemet av
linjära differentialekvationer. diff(X,t)=A(t)
Detta skedde med hjälp av allmänna homogena lösningen.
Repetition av måndagens föreläsning.
Beskrivit lösningsstrukturen för system av linjära differentialekvationer.
Variation av parametrar introducerades för system.
Diskuterat plana autonoma system samt berört linjarisering av
systemet diffX(t),t)=g(X) med hjälp av Taylorutveckling.
Entydigheten för begynnelsevärdesproblem-
Berört randvärdesproblem och därvid även löst uppgift Z.C.4.1.13.
Diskuterat linjärt beroende/oberoende och infört begreppet fundamentallösningar.
Infört Wronskianen, Wronskideterminanten.
Redogjort för kopplingen mellan Wronskianen och linjärt oberoende lösningar.
Beskrivit lösningsstrukturen för linjära differentialekvationer.
Motivering till metoden "reduktion av ordning".
Metoden "variation av parameter" visades och skrevs på matrisform..
Inlämningsuppgiften finns tillgänglig.
Se under länken INL1.
Nu är det möjligt att anmäla sig till tentamen.
Anmälningstiden är mellan den 5 september till och med den 2 oktober kl 2400.
Placering då det gäller
SF1633 och SF1637. KS1. Mån 12/9 2011, 1030-1130 .
För CBIOT2 & CKEMV2: Q11-Q26
För CMAST2: M24-38.
För CENMI2: Q31, Q33.
För CDEPR2: L41-44, L51-52.
För CMATD2: M21-23.
För övriga: Q34, Q36.
För SF1637 CL2 & CDATE2: F1.
Tillåtet hjälpmedel är BETA.
KOM I GOD TID !
Avslutat kontrollskrivning KS1.
Kort översikt av modul 2.
Linjära egenskapen diskuterades.
Metoderna "reduktion av ordning" och "variation av parameter" diskuterades.
Bestämt fundamentalmängd av lösningar till ekvationen
x*(diff(y(x),xx)-2*diff(y(x),x)+y(x))=0, x>0.
Vidare har allmänna lösningen till ekvationen x*(diff(y(x),xx)-2*diff(y(x),x)+y(x))=exp(x), x>0 bestämts. Härvid har metoden "reduktion av ordning" används.
Även metoden "variation av parameter" användes som alternativ lösningsmetod.
Lösning av system av linjära första ordningens ODE med hjälp av egenvärden och egenvektorer presenterades.
Avslutat uppgift Z.C.3.2.5. Fiskepopulationsmodell.
Diskuterat kring "tankproblemen" Z.C.3.3.7.
Kvalitativ behandling av Z.C.3.3.8.
Linjära av första ordningen
Bestämt allmänna lösningen med hjälp av variation av parameter.
Detta innebär att den allmänna homogena lösningen bestämdes först.
Därefter ersattes den godtyckliga konstanten i den homogena lösningen med en funkton av x.
Insättning i den inhomogena diff.ekv. ger allmänna lösningen.
Löst den första uppgiften på KS1 från förra läsåret.
De återstående uppgifterna tas upp på måndag.
Nästa föreläsning kommer att behandla modul 2.
Löst Z.C.2.1.17.
Löst Z.C.2.2.24. som separabel och med hjäp av entydighetssatsen.
Diskuterat och löst följande "modelluppgifter":
Z.C.3.1.4. Bakteriell tillväxt.
Z.C.3.1.21.Tankproblem.
Påbörjat Z.C.3.2.5. Fiskepopulationsmodell. Del a är klar.
Kort sammanfattning av måndagens föreläsning.
Genomgång av Bernoullska differentialekvationer.
Löst diff.ekv.: diff(x(t),t))=x^2-x.
Uppgiften har lösts som Bernoullsk och även som separabel.
Stationära lösningar och stabilitet/instabilitet har studerats.
Vidare har existensintervallet till begynnelsevärdesproblemet diff(x(t),t))=x^2-x, x(0)=2 bestämts
Löst diff.ekv.: x*diff(y(x),x)-2*y(x)=x^3
Strukturen hos linjära differentialekvationer har diskuterats.
Presentation av kursen och dess innehåll.
Redogjort för kursupplägg och examination.
Introducerat några befolkningsmodeller och diskuterat modellernas lämplighet.
De två modellerna är:
a) Relativa tillväxthastigheten konstant.
b) Ändrat modell a genom att ta hänsyn till brist på resurser.
Genomfört kvalitativ analys på dessa exempel.
Löst uppgift Z.C.1.3.10.
Diskuterat riktningsfält för differentialekvationen: diff(y(x),x)=-x/y.
Bestämt dess lösning.
Visat lösningsmetoden för separabla differentialekvationer och för linjära av första ordningen.
Diff.ekv. med homogent högerled har överförts till separabel diff.ekv.
Anmälningstiden är mellan den 5 september till och med den 2 oktober kl 2400.
Kursens hemsidor är under uppbyggnad.
Nu är de flesta sidorna utlagda. Dock kan det ske smärre justeringar fram till kursstart.
Studenter från CBIOT2 och CKEMV2, för vilka kursen valts,
hälsas välkomna till kursen SF1633, Differentialekvationer I.
Titta gärna i förväg på kapitel 1-3 i Zill-Cullen.
Detta innebär i detta fall att envariabel, flervariabel och linjär algebra behärskas.
Ett nätbaserat stöd finns under följande länkar:
För mer grundläggande finns KTH:s Sommarmatematik.
För envariabel finns SF1643, Tal och funktioner och SF1644, Analys i en variabel .
För linjär algebra finns SF1645, Linjär algebra .
Då det gäller linjär algebra och differentialdelen i flervariabelanalys finns 5B1116, Matematik II.
