KTH Matematik
| Rekommenderade uppgifter | Inlämningsuppgifter |Matematikjour | Tentamensanmälan | Extentor |
| Resultat |
SF1633, Differentialekvationer I, 2010.2011.
Nyheter för CBIOT2 och CKEMV2 hösten 2010.
Nu finns resultatet på kompletteringsskrivningen den 31 januari 2011 tillgängligt via länken SF1633.37.20110131. Resultatet finns även tillgängligt under Resultat
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
Lösningsförslag till tisdagens tentamen nås via länken SF1633.Extentor. eller direkt SF1633.2011111.Svar.
Nu finns även resultatet på tentamensskrivningen den 11 januari 2011 tillgängligt via länken SF1633.20110111.
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
De som erhållit 2 godkända moduler får möjlighet att komplettera till godkänt betyg
måndagen den 31 januari 2011.
Skrivtiden är 1715-1815. Skrivtid 60 minuter. Man sitter hela skrivtiden.
Skrivsal är F1.
Var ute i god tid !
Nu finns resultatet på kompletteringsskrivningen den 15 november 2010 tillgängligt via länken SF1633.37.20101115. Resultatet finns även tillgängligt under Resultat
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
Nu finns lösningsförslag till dagens tentamen.
Den nås via länken
SF1633.Extentor eller direkt 20101115.TextSvar.
Nu finns resultatet på tentamensskrivningen den 20 oktober 2010 tillgängligt
via länken Resultat eller direkt SF1633.20101022.
Skrivningarna finns att hämta på studentexpeditionen.
De som erhållit 2 godkända moduler får möjlighet att komplettera till godkänt betyg
måndagen den 15 november 2010.
Skrivtiden är 1630-1730. Man sitter hela skrivtiden.
Skrivsal är F1.
Var ute i god tid !
Vid godkänd komplettering erhålles det betyg som del 2 anger.
Nu finns lösningsförslag till dagens tentamen.
Den nås via länken
SF1633.Extentor eller direkt
SF1633.20110120. Svar.
och för SF1637 nås via länken
SF1637.Extentor. eller direkt
SF1637.20110120. Svar.
Skrivsalarna för morgondagens tentamen fins under länken Tentamina hösten 2010.
LYCKA TILL !
Löst uppgifterna Z.C.7.4.26.och Z.C.7.6.6.
Bestämt den lösning till differentialekvationen
diff(y(t),tt)+t*diff(y(t),t)-y(t)=0
som uppfyller villkoren y(0)=0 och diff(y(t),t)(0)=1.
Exempel på beräning av generaliserade integraler med hjälp av laplacetransform.
Återtransform av exp(-s)*1/(s^2+4s+11).
Onsdagens föreläsning kommer att ägnas åt repetition.
Visat att en styckvis kontinuerlig funktion av exponentiell ordning har laplacetransform.
Visat laplacetransformen för periodiska funktioner.
Visat laplacetransformaen av faltningsintegralen.
Löst uppgifterna Z.C.7.3.42., Z.C.7.4.36. och Z.C.7.4.14.
Genomgång av laplacetransformen för t^n*f(t).
Bestämt laplacetransformen för följande funktioner:
f(t)=1, f(t)=exp(at), f(t)=cos(at), f(t)=sin(at), f(t)=t och f(t)=t^2.
Diskuterat faltningsintegralen och dess laplacetransform.
Löst uppgifterna Z.C.7.1.32., Z.C.7.2.8, Z.C.7.2.16., Z.C.7.2.34, Z.C.7.3.16.och Z.C.7.5.6.
Resultatet av KS2 finns nu tillgängligt under Resultat eller direkt KS2 .
Kontrollskrivningarna, KS2, finns nu på teknologexpeditionen.
Kontrollera att resultatet stämmer.
SPARA KONTROLLSKRIVNINGARNA TILLS RESULTATET PÅ KURSEN ÄR RAPPORTERAT I LADOK.
Introduktion av integraltransformer, Laplacetransformer och Fouriertransformer.
Definierat laplacetransformen.
Presenterat laplacetransformens ideer.
Visat laplacetransformen för första och andra derivatorna.
Definierat Heavisides stegfunktion U(t-a).
Visat laplacetransformen för funktionen f(t-a)U(t-a).
Skisserat funktionerna f(t), f(t)U(t-a) och f(t-a)U(t-a).
Bestämt laplacetransformen för funktionen fa(t)=(1/(2*a))*(U(t-(t0-a))-U(t-(t0+a))).
Genomfört gränsövergång då a går mot noll.
Därvid har vi erhållit laplacetransformen för Diracs deltafunktion.
Visat laplacetransformen för funktionen f(t)*exp(at).
Bestämt laplacetransformen för först och andraderivatan.
Kontrollskrivningarna finns tillgängliga på expeditionen.
Detta gäller CBIOT, CINEK, CL och CKEMV.
Resten kommer nästa vecka.
Löst uppgift Z.C.11.3.42. där en partikulärlösning till differentialekvationen
diff(x(t),tt)+x(t)=f(t) bestämdes.
Högerledet är en periodisk funktion och utvecklades i en cosinusserie.
Löst följande problem.
Givet att s(x)=sum[cos(nPix)/n^2, n=1-->oändl) är lika med
((Pi^2)/12)*(3x^2-6x+2) då 0 < x <1.
Beräkna s(-8/3).
Bestämt fourierutvecklingen för f(x)=x^2, 0
sum(1/n^2, n=1-->oändl) och sum((-1)^n/n^2, n=1-->oändl)
Introducerat Heavisides funktion.
Löst Z.C.11.3.28 och därvid utvidgat en funktion till en jämn funktion i den första delen av uppgiften.Den andra delen av uppgiften innebar en udda utvidgning av funktionen.
Behandlat delar av uppgift 2.c. av moduluppgift 3b.
Uppgiften behandlar seriekonvergens.
Löst uppgift Z.C.12.5.12. Värmeledning i en platta med obegränsad utsträckning i y-led.
Nu finns dagens KS tillgänglig KS2.
OBS !
GLÖM INTE ATT ANMÄLA DIG TILL TENTAMEN.
OBS !
Anmälningstiden är mellan den 6 september till och med den 3 oktober kl 2400.
Placering då det gäller SF1633 och SF1637. KS2.Mån 27/9 2010, 0830-0930 .
För CBIOT2 & CKEMV2& CINEK ( A-K ): Q17-Q36
För CDEPR2: Q11-15, L51-52.
För CMAST2: M24-38.
För CMATD2: M21-23.
För CL2 & CDATE2 & CINEK ( L-Ö ): F1.
Tillåtet hjälpmedel är BETA.
KOM I GOD TID !
Repetition av fourierserier.
Konvergensförhållandena för fourierserier har diskuterats.
Löst uppgift Z.C.11.2.7. och kommenterat Gibbs fenomen.
Bestämt allmänna lösningen till värmeledningsekvationen med hjälp av variabelseparationsmetoden. Uppgift Z.C.12.3.3.
Fortsättning av måndagens föreläsning.
Anpassat lösningarna till vågekvationen till randvillkoren u(0,t)=u(L,t)=0.
Anpassat dessa lösningar till begynnelsevillkoren:
Härvid har ett problem uppstått.
Nämnligen att uttrycka en funktion med hjälp av sinustermer.
Detta ger oss anledning att studera trigonometriska fourierserier.
Definierat inre produkt. Visat ortogonalrelationerna.
Visat att funktionsföljden
{1, cos(Pix/p), cos(2Pix/p),...., cos(mPix/p),..., sin(Pix/p) , sin(2Pix/p), ....,sin(nPix/p), .... }
är ortogonal på intervallet (-p,p).
Definierat trigonometriska fourierserier.
Bestämt fourierkoefficienterna.
Särskilt har udda och jämna funktioner betraktats.
Resultatet av KS1 finns nu tillgängligt under Resultat eller direkt KS1 .
Kontrollskrivningarna, KS1, finns nu på teknologexpeditionen.
Kontrollera att resultatet stämmer.
SPARA KONTROLLSKRIVNINGARNA TILLS RESULTATET PÅ KURSEN ÄR RAPPORTERAT I LADOK.
Repetition av fredagens föreläsning.
Löst uppgift Z.C.10.3.30.
Påbörjat avsnittet med partiella differentialekvationer.
Introduktion av partiella differentialekvationer.
Infört variabelseparationsmetoden.
Löst följande partiella differentialekvation:
diff(u(x,y),x)=u(x,y)+diff(u(x,y),y)
med villkoret u(x,0)=5*exp(-3*x)-4*exp(x).
Använt variabelseparationsmetoden på vågekvationen.
De tre skilda fallen har undersökts.
Repetition av onsdagens föreläsning.
Stabilitetsundersökning av autonoma differentialekvationer.
Stabilitetsundersökning av icke-linjära system av autonoma differentialekvationer.
Taylorutveckling användes för linjarisering.
Löst uppgift Z.C.10.3.18.
Löst uppgift Z.C.10.3.30.
Uppgiften löstes genom att linjarisera det icke-linjära systemet
Inlämningsuppgiften finns tillgänglig.
Se under länken INL1.
Introduktion av autonoma system och stabilitet.
Diskuterat olkia lösningstyper: stationär punkt, båge och periodisk lösning.
Villkor för entydig stationär punkt.
Klassificerat de olika typerna av punkter:
stabil nod, instabil nod, sadelpunkt, degenererad stabil nod, degenererad instabil nod, stabil spiralpunkt, instabil spiralpunkt och centrum.
Sammanfattning angående stabilitet för linjära system med utgångspunkt från egenvärden.
Löst uppgifterna Z.C.10.1.16, Z.C.10.2.11 och Z.C.10.2.18.
Repeterat lösning av homogent system av differentialekvationer.
Löst uppgifterna Z.C.8.2.2., Z.C.8.2.19., Z.C.8.2.36. och Z.C.8.3.13.
Diskuterat olika typer av lösningskurvor till systemet diff(X(t),t)=AX(t).
På: onsdag påbörjas stabilitetsundersökning av system av differentialekvationer.
Nu finns dagens KS tillgänglig KS1.
Omformat differentialekvationen diff(y(x),xx)+y(x)=0 till ett linjärt system av första ordningen.
Bestämt egenvärdena och tillhörande egenvektorer till systemets matris.
Vidare har en komplex lösning till systemet bestämts.
Utifrån denna har två linjärt oberoende lösningar bestämts.
Konstaterat att karakteristiska rötterna till differentialekvationen och egenvärdena är identiska.
Presenterat teorin för lösningarnas uppbyggnad.
Diskuterat entydigheten för begynnelsevärdesproblemet
diff(X,t)=A(t)
Infört Wronskianen, Wronskideterminanten.
Redogjort för kopplingen mellan Wronskianen och linjärt oberoende lösningar.
Beskrivit lösningsstrukturen för system av linjära differentialekvationer.
Genomgång av allmänna homogena lösningen till det homogena systemet.
Genomgång av fallen med
a) Skilda reella egenvärden.
b) Upprepade reella egenvärden.
c) Komplexa egenvärden.
Repetition av måndagens föreläsning.
Beskrivit lösningsstrukturen för system av linjära differentialekvationer.
Diskuterat plana autonoma system samt berört linjarisering av
systemet diffX(t),t)=g(X) med hjälp av Taylorutveckling.
Entydigheten för begynnelsevärdesproblem-
Berört randvärdesproblem och därvid även löst uppgift Z.C.4.1.13.
Diskuterat linjärt beroende/oberoende och infört begreppet fundamentallösningar.
Infört Wronskianen, Wronskideterminanten.
Redogjort för kopplingen mellan Wronskianen och linjärt oberoende lösningar.
Beskrivit lösningsstrukturen för linjära differentialekvationer.
Variation av parametrar genomfördes för system.
Placering då det gäller SF1633 och SF1637. KS1.Mån 13/9 2010, 0830-0930 .
För CBIOT2 & CKEMV2: Q17-Q36
För CMAST2: M24-38.
För CDEPR2: Q11-15, L51-52.
För CMATD2: M21-23.
För CL2 & CDATE2: F1.
Tillåtet hjälpmedel är BETA.
KOM I GOD TID !
Avslutat kontrollskrivning KS1.
Kort översikt av modul 2.
Linjära egenskapen diskuterades.
Metoderna "reduktion av ordning" och "variation av parameter" diskuterades.
Bestämt fundamentalmängd av lösningar till ekvationen
x*(diff(y(x),xx)-2*diff(y(x),x)+y(x))=0, x>0.
Vidare har allmänna lösningen till ekvationen x*(diff(y(x),xx)-2*diff(y(x),x)+y(x))=exp(x), x>0 bestämts. Härvid har metoden "reduktion av ordning" används.
Även metoden "variation av parameter" användes som alternativ lösningsmetod.
Lösning av system av linjära första ordningens ODE med hjälp av egenvärden och egenvektorer presenterades.
Linjära av första ordningen
Bestämt allmänna lösningen med hjälp av variation av parameter.
Detta innebär att den allmänna homogena lösningen bestämdes först.
Därefter ersattes den godtyckliga konstanten i den homogena lösningen med en funkton av x.
Insättning i den inhomogena diff.ekv. ger allmänna lösningen.
Diskuterat kring "tankproblemen" Z.C.3.3.7.
Löst de två första uppgifterna på KS1 från tidigare år.
Den tredje uppgiften tas upp på måndag.
Nästa föreläsning kommer att behandla modul 2.
Löst Z.C.2.2.24. med hjälp av entydighetssatsen.
Diskuterat och löst följande "modelluppgifter":
Z.C.3.1.4. Bakteriell tillväxt.
Z.C.3.1.21.Tankproblem.
Z.C.3.2.5. Fiskepopulationsmodell.
Kort sammanfattning av fredagens föreläsning.
Löst diff.ekv.: x*diff(y(x),x)-2*y(x)=x^3
Diskuterat riktningsfält för differentialekvationen: diff(y(x),x)=-x/y.
Bestämt dess lösning.
Diff.ekv. med homogent högerled har överförts till separabel diff.ekv.
Genomgång av Bernoullska differentialekvationer.
Löst Z.C.2.1.17.
Löst Z.C.2.5.16.
Diskuterat Z.C.2.5.6. och därvid insett en lösning, y=x, som påstods vara den enda !
Nu finns extrauppgifter tillgängliga. De benämnes moduluppgifter.
De finns under länken Föreläsningsplan
Presentation av kursen och dess innehåll.
Redogjort för kursupplägg och examination.
Introducerat några befolkningsmodeller och diskuterat modellernas lämplighet.
De tre modellerna är:
a) Relativa tillväxthastigheten konstant.
b) Ändrat modell a genom att ta hänsyn till brist på resurser.
c) Ändrat modell b genom att ta hänsyn till utflyttning.
Genomfört kvalitativ analys på dessa exempel.
Löst uppgift Z.C.1.3.10.
Visat lösningsmetoden för separabla differentialekvationer och för linjära av första ordningen.
Löst diff.ekv.: diff(x(t),t))=x^2-x.
Anmälningstiden är mellan den 6 september till och med den 3 oktober kl 2400.
Kursens hemsidor är under uppbyggnad.
Studenter från CBIOT2 och CKEMV2, för vilka kursen valts,
hälsas välkomna till kursen SF1633, Differentialekvationer I.
Titta gärna i förväg på kapitel 1-3 i Zill-Cullen.
Detta innebär i detta fall att envariabel, flervariabel och linjär algebra behärskas.
Ett nätbaserat stöd finns under följande länkar:
För mer grundläggande finns KTH:s Sommarmatematik.
För envariabel finns SF1643, Tal och funktioner och SF1644, Analys i en variabel .
För linjär algebra finns SF1645, Linjär algebra .
Då det gäller linjär algebra och differentialdelen i flervariabelanalys finns 5B1116, Matematik II.
