SF1626 - Övning 7 - Code

Göran Andersson goeran@kth.se, 110413

6.1

ClearAll["`*"]

(∫_0^1)(∫_0^1)(x y+(y^2))\[DifferentialD]x\[DifferentialD]y

Grafik

Plot3D[x y+(y^2),{x,0,1},{y,0,1},Filling->0,AxesLabel->Automatic]

6.4

ClearAll["`*"]

(∫_(-(π/2))^(π/2))(∫_0^1)y Sin[y+x y]\[DifferentialD]x\[DifferentialD]y

Grafik

Plot3D[y Sin[y+x y],{x,0,1},{y,-(π/2),(π/2)},Filling->0,AxesLabel->Automatic]

6.5

Integranden är udda över symmetriskt intervall m.a.p. x så integralen blir 0.

ClearAll["`*"]

(∫_(-1)^1)(∫_(-1)^1)x (E^(-((x^2)+(y^2))))\[DifferentialD]x\[DifferentialD]y

Grafik

Plot3D[x (E^(-((x^2)+(y^2)))),{x,-1,1},{y,-1,1},Filling->0,AxesLabel->Automatic]

6.10

ClearAll["`*"]

𝒟[x_,y_]:=0≤x≤1&&0≤y≤1-x

(∫_(-∞)^∞)(∫_(-∞)^∞)(y/(1+x)) Boole[𝒟[x,y]]\[DifferentialD]x\[DifferentialD]y

Grafik

RegionPlot[𝒟[x,y],{x,0,1},{y,0,1},FrameLabel->Automatic,GridLines->Automatic]

Plot3D[(y/(1+x)),{x,0,1},{y,0,1},PlotRange->{0,All},Filling->0,RegionFunction->Function[{x,y,z},𝒟[x,y]],AxesLabel->Automatic]

6.11

ClearAll["`*"]

𝒟[x_,y_]:=x≥0&&y≥0&&2x+3y≤6

f[x_,y_]:=(E^(-2x-3y))

(∫_(-∞)^∞)(∫_(-∞)^∞)f[x,y] Boole[𝒟[x,y]]\[DifferentialD]x\[DifferentialD]y

Grafik

RegionPlot[𝒟[x,y],{x,0,3},{y,0,3},FrameLabel->Automatic,GridLines->Automatic]

Plot3D[f[x,y],{x,0,3},{y,0,3},PlotRange->{0,All},Filling->0,RegionFunction->Function[{x,y,z},𝒟[x,y]],AxesLabel->Automatic]

6.12

ClearAll["`*"]

𝒟[x_,y_]:=x≥0&&(x^2)≤y≤1

f[x_,y_]:=(x/(1+(y^2)))

(∫_(-∞)^∞)(∫_(-∞)^∞)f[x,y] Boole[𝒟[x,y]]\[DifferentialD]x\[DifferentialD]y

Grafik

RegionPlot[𝒟[x,y],{x,0,1},{y,0,1},FrameLabel->Automatic,GridLines->Automatic]

Plot3D[f[x,y],{x,0,1},{y,0,1},PlotRange->{0,All},Filling->0,RegionFunction->Function[{x,y,z},𝒟[x,y]],AxesLabel->Automatic]

6.14

ClearAll["`*"]

𝒟[x_,y_]:=Abs[x]≤y&&0≤y≤1

f[x_,y_]:=(E^(-(y^2)))

(∫_(-∞)^∞)(∫_(-∞)^∞)f[x,y] Boole[𝒟[x,y]]\[DifferentialD]x\[DifferentialD]y

Grafik

RegionPlot[𝒟[x,y],{x,-1,1},{y,0,1},FrameLabel->Automatic,GridLines->Automatic,AspectRatio->Automatic]

Plot3D[f[x,y],{x,-1,1},{y,0,1},PlotRange->{0,All},Filling->0,RegionFunction->Function[{x,y,z},𝒟[x,y]],AxesLabel->Automatic,BoxRatios->Automatic]

6.15

ClearAll["`*"]

𝒟[x_,y_]:=-y≤x≤2y&&0≤y≤1

RegionPlot[𝒟[x,y],{x,-1,2},{y,0,1},FrameLabel->Automatic,GridLines->Automatic,AspectRatio->Automatic]

f[x_,y_]:=(1/(1+(((x-2y))^2)))

(∫_(-∞)^∞)(∫_(-∞)^∞)f[x,y] Boole[𝒟[x,y]]\[DifferentialD]x\[DifferentialD]y

Plot3D[f[x,y],{x,-1,2},{y,0,1},PlotRange->{0,All},Filling->0,RegionFunction->Function[{x,y,z},𝒟[x,y]],AxesLabel->Automatic,BoxRatios->Automatic]

6.17

a)

ClearAll["`*"]

𝒟[x_,y_]:=0≤y≤x&&0≤x≤1

f[x_,y_]:=x y(Sqrt[(x^2)+(y^2)])

(∫_(-∞)^∞)(∫_(-∞)^∞)f[x,y] Boole[𝒟[x,y]]\[DifferentialD]x\[DifferentialD]y

6.19

ClearAll["`*"]

𝒟[x_,y_]:=Abs[x]+Abs[y]≤1

RegionPlot[𝒟[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},FrameLabel->Automatic,GridLines->Automatic,AspectRatio->Automatic]

f[x_,y_]:=((((x^2)-(y^2)))^10)

(∫_(-∞)^∞)(∫_(-∞)^∞)f[x,y] Boole[𝒟[x,y]]\[DifferentialD]x\[DifferentialD]y

6.21

(Underscript[∫∫, 𝒟])ln((x^2)+(y^2)+1) dx dy

I detta fall fungerar inte exakt integration genom ange området m.h.a. Boole så vi gör en manuell substitution med polära koordinater.

ClearAll["`*"]

f[{x_,y_}]:=Log[1+(x^2)+(y^2)];
𝒟[{x_,y_}]:=1≤(x^2)+(y^2)≤2;
𝕩={x,y};

RegionPlot[𝒟[𝕩],{x,-2,2},{y,-2,2},FrameLabel->Automatic,GridLines->Automatic]

Plot3D[f[𝕩],{x,-2,2},{y,-2,2},PlotRange->{0,All},Filling->0,RegionFunction->Function[{x,y,z},𝒟[𝕩]],AxesLabel->Automatic]

Här följer en numerisk integration så vi kan jämföra.

NIntegrate[f[𝕩] Boole[𝒟[𝕩]],{y,-∞,∞},{x,-∞,∞}]//Chop

Polära koordinater införs och funktionaldeterminanten beräknas.

Clear[𝕩];𝕣={r,θ};
𝕩[{r_,θ_}]:={r Cos[θ],r Sin[θ]};
J[{r_,θ_}]=FullSimplify[Abs[Det[(∂_({𝕣}))𝕩[𝕣]]],r>0]

g[{r_,θ_}]=FullSimplify[f[𝕩[𝕣]]]

(∫_1^(Sqrt[2]))(∫_0^(2 π))g[𝕣] J[𝕣]\[DifferentialD]θ\[DifferentialD]r

N[%]

6.22

(Underscript[∫∫, 𝒟])(x^2)(e^((x^2)+(y^2))) dx dy

I detta fall fungerar inte exakt integration genom ange området m.h.a. Boole så vi gör en manuell substitution med polära koordinater. Först gör vi en numerisk integration så vi kan jämföra.

ClearAll["`*"]

f[{x_,y_}]:=(x^2)(E^((x^2)+(y^2)));
𝒟[{x_,y_}]:=(x^2)+(y^2)≤25&&y≥Abs[x];
𝕩={x,y};

RegionPlot[𝒟[𝕩],{x,-6,6},{y,0,6},FrameLabel->Automatic,GridLines->Automatic,AspectRatio->Automatic]

Här följer en numerisk integration så vi kan jämföra.

NIntegrate[f[𝕩] Boole[𝒟[𝕩]],{y,-∞,∞},{x,-∞,∞}]

Polära koordinater införs och funktionaldeterminanten beräknas.

Clear[𝕩];𝕣={r,θ};
𝕩[{r_,θ_}]:={r Cos[θ],r Sin[θ]};
J[{r_,θ_}]=FullSimplify[Abs[Det[(∂_({𝕣}))𝕩[𝕣]]],r>0]

g[{r_,θ_}]=FullSimplify[f[𝕩[𝕣]]]

(∫_0^5)(∫_(π/4)^(3π/4))g[𝕣] J[𝕣]\[DifferentialD]θ\[DifferentialD]r

N[%]

Grafik

Funktionen är svår att plotta eftersom den spänner över värden från 0 till 25(e^25)/2.

Plot3D[f[{x,y}],{x,-4,4},{y,0,5},PlotRange->All,Filling->0,RegionFunction->Function[{x,y,z},𝒟[{x,y}]],AxesLabel->Automatic]

En möjlighet är att plotta (Subscript[log, 10])(1+f) och sätta lämpliga etiketter.

ticks={0}~Join~Table[{Log10[1+(10^t)],ScientificForm[N[(10^t)],1]},{t,3.,12.,3.}]

Plot3D[Log10[1+f[{x,y}]],{x,-4,4},{y,0,5},PlotRange->{0,12.1},Filling->0,RegionFunction->Function[{x,y,z},𝒟[{x,y}]],AxesLabel->Automatic,Ticks->{Automatic,Automatic,ticks}]

6.23

(Underscript[∫∫, 𝒟])((x^2)-(y^2))(e^(2x y)) dx dy

I detta fall fungerar inte exakt integration genom ange området m.h.a. Boole så vi gör en manuell substitution med polära koordinater. Först gör vi en numerisk integration så vi kan jämföra.

ClearAll["`*"]

f[{x_,y_}]:=((x^2)-(y^2))(E^(x y));
𝒟[{x_,y_}]:=(x^2)+(y^2)≤1&&-x≤y≤x&&x≥0;
𝕩={x,y};

RegionPlot[𝒟[𝕩],{x,-1,1},{y,-1,1},FrameLabel->Automatic,GridLines->Automatic,AspectRatio->Automatic]

Plot3D[f[{x,y}],{x,0,1},{y,-1,1},PlotRange->All,Filling->0,RegionFunction->Function[{x,y,z},𝒟[𝕩]],AxesLabel->Automatic,BoxRatios->Automatic]

Här följer en numerisk integration så vi kan jämföra.

NIntegrate[f[𝕩] Boole[𝒟[𝕩]],{y,-∞,∞},{x,-∞,∞}]

Polära koordinater införs och funktionaldeterminanten beräknas.

Clear[𝕩];𝕣={r,θ};
𝕩[{r_,θ_}]:={r Cos[θ],r Sin[θ]};
J[{r_,θ_}]=FullSimplify[Abs[Det[(∂_({𝕣}))𝕩[𝕣]]],r>0]

g[{r_,θ_}]=TrigReduce[f[𝕩[𝕣]]]

(∫_0^1)(∫_(-π/4)^(π/4))g[𝕣] J[𝕣]\[DifferentialD]θ\[DifferentialD]r

N[%]

6.24

ClearAll["`*"]

𝕩={x,y};

𝒟[{x_,y_}]:=(x^2)+(y^2)-2x≤0

RegionPlot[𝒟[𝕩],{x,-2,2},{y,-2,2},FrameLabel->Automatic]

f[{x_,y_}]:=(x^2)+(y^2)

(∫_(-∞)^∞)(∫_(-∞)^∞)f[𝕩] Boole[𝒟[𝕩]]\[DifferentialD]x\[DifferentialD]y